Funktion g
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – gleiche Temperaturänderungsrate
Für die mittlere und momentane Temperaturänderungsrate gilt nach der Tabelle:
\( \quad m_s \; = \; \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \quad \textrm{und} \quad m_t \; = \; f'(x) \)
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Die Steigungen der Tangente und der Sekante sollen gleich sein.
Um den Zeitpunkt des Tangentenpunktes zu ermitteln, setzen wir
\( \quad \begin{align} f'(t) & = \tfrac{g(20)-g(9)}{20-9} \\[8pt] -4t^3 + 56t^2 - 224t + 256 & = \tfrac{280 \cdot e^{-0{,}5 \cdot (20-9)}-287}{11} \\[8pt] -4t^3 + 56t^2 - 224t + 256 & = -25{,}35 && \bigl| +25{,}35 \\[8pt] -4t^3 + 56t^2 - 224t + 281{,}35 & = 0 \end{align} \)
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Mit dem Taschenrechner erhalten wir
\( \quad t = 8{,}24 \, min \)
nach Beginn der Messungen.
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Aufgabe 2 – Differenz von 100°C
Bei einer Stoßweite von 20 m ist \(s=20\). Daraus folgt
Das gesuchte Intervall ist \(I=[z ; z+2]\). Es muss nach Aufgabenstellung gelten:
\( \quad \begin{align} g(z+2) & = g(z) -100 \\[8pt] 280 \cdot e^{-0{,}5 \cdot (z+2-9)} + 7 & = 280 \cdot e^{-0.5 \cdot (z-9)} + 7 -100 && \bigl| \; -7 \\[8pt] 280 \cdot e^{-0{,}5 \cdot (z-7)} & = 280 \cdot e^{-0{,}5 \cdot (z-9)} -100 && \bigl| \; +100 \\[8pt] 280 \cdot e^{-0{,}5 \cdot (z-7)} + 100 & = 280 \cdot e^{-0{,}5 \cdot (z-9)} && \bigl| -280 \cdot e^{-0{,}5 \cdot (z-7)} \\[8pt] 100 & = 280 \cdot e^{-0{,}5 \cdot (z-9)}-280 \cdot e^{-0{,}5 \cdot (z-7)} && \bigl| \; Ausklammern \\[8pt] 100 & = 280 \cdot \big(e^{-0{,}5 \cdot (z-9)}-e^{-0{,}5 \cdot (z-7)} \big) && \bigl| \; :280 \\[8pt] \tfrac{5}{14} & = e^{-0{,}5 \cdot (z-9)}-e^{-0{,}5 \cdot (z-7)} \\[8pt] \tfrac{5}{14} & = e^{-0{,}5 z+ 4{,}5}-e^{-0{,}5 z+ 3{,}5} && \bigl| \; Potenzgesetz \\[8pt] \tfrac{5}{14} & = \tfrac{e^{4{,}5}}{e^{0{,}5 z}}-\tfrac{e^{3{,}5}}{e^{0{,}5 z}} \\[8pt] \tfrac{5}{14} & = \tfrac{e^{4{,}5}-e^{3{,}5}}{e^{0{,}5 z}} && \bigl| \; \cdot e^{0{,}5 z} \\[8pt] \tfrac{5}{14} \cdot e^{0{,}5 z} & = e^{4{,}5}- e^{3{,}5} && \bigl| \; \cdot \tfrac{14}{5} \\[8pt] e^{0{,}5z} & = \tfrac{14}{5} \cdot \big(e^{4{,}5}- e^{3{,}5}\big) && \bigl| \; ln \\[8pt] 0{,}5z & = ln \Big( \tfrac{14}{5} \cdot \big(e^{4{,}5}- e^{3{,}5}\big) \Big) && \bigl| \; \cdot 2 \\[8pt] z & = 2 \cdot ln \Big( \tfrac{14}{5} \cdot \big(e^{4{,}5}- e^{3{,}5}\big) \Big) \\[8pt] z & = 10{,}1419 \end{align} \)
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Der 2. Zeitpunkt ist
\( \quad z + 2 = 10,1419 + 2 = 12,1419 \)
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Das gesuchte Zeitintervall ist ca. \([10,1419 ; 12,1419]\).
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