Funktion h
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
Aufgabe 1 – Maximum
Für die höchste Koffeinkonzentration berechnen wir den Hochpunkt von \(h\) .
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notwendige Bedingung
Wir definieren
\( \quad h(t) = 0{,}01 \cdot e^{-0{,}003 \cdot t} \cdot \left( 1 - e^{-0{,}07 \cdot t}\right) \)
\(\\\)
Wir berechnen die Gleichung mit
\(\\[2em]\)
hinreichende Bedingung
Um zu überprüfen, welche Art von Extrempunkte wir an den Stelle \(t=45{,}59781646\) haben, setzen wir \(t=45{,}59781646\) in die 2. Ableitung ein.
\(\\\) \(h2(45{,}59781646)<0\), also liegt bei \(t=45{,}59781646\) ein Hochpunkt vor.
\(\\[2em]\)
Funktionswerte
Nun benötigen wir noch den \(y\)-Wert des Hochpunktes und bestimmen ihn mit
\(\\\) \(45{,}59781646\) Minuten nach der Einnahme des koffeinhaltigen Getränks liegt eine maximale Koffeinkonzentration von \(0{,}008363085555 \; \frac{mg}{ml}\) im Blut vor.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Graph zeichnen
Zum Zeichnen des Graphen lassen wir uns die Wertetabelle anzeigen und gehen folgendermaßen vor:
-
In den Graphikbereich wechseln
Wir kopieren den Funktionsterm mit Edit Copy und gehen in den Graphikbereich mit
und
Dort fügen wir mit Paste den Funktionsterm ein und ändern die Variable \(t\) in \(x\) .
\(\\\)
-
Zeichenbereich einstellen
Wir gehen auf die Zeichenbereicheinstellung
und wählen folgende Werte für xmin, xmax, ymin und ymax und bestätigen mit OK
Mit
können wir nun den Graphen zeichnen lassen.
\(\\\)
-
Wertetabelle
Zum Übertragen ins Heft lassen wir uns eine Wertetabelle ausgeben und stellen diese ein mit
und nehmen folgende Einstellungen vor und bestätigen mit OK.
Mit
lassen wir uns die Werte anzeigen.
\(\\\)
Für unsere Zeichnung brauchen wir eine Höhe von \(9 \mathbf{E}-3 = 0{,}009\) Längeneinheiten und eine Breite von \(400\) Längeneinheiten. Wir zeichnen die Achsen im angegebenen Maßstab, übertragen die Punkte aus der Wertetabelle in unsere Zeichnung und zeichnen den Graphen wie folgt:
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – größte momentane Abnahmerate
Die größte momentane Abnahmerate liegt im Wendepunkt.
Wir bestimmen diese, indem wir im Wendepunkt eine Tangente anlegen und über ein Steigungsdreieck, so gut es eben geht, das Gefälle ablesen. Auf der vorhergehenden Seiten bekommen wir
\( \quad m = -\frac{0{,}002}{90} = -0{,}000022 \)
\(\\\) Das Gefälle beträgt \(0{,}000022 \; \frac{mg}{ml}\) pro Minute.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 4 – maximale momentane Änderungsrate
Die maximale momentane Änderungsrate befindet sich in der Regel zwischen einem Tiefpunkt und einem Hochpunkt. Da wir bereits wissen, dass wir nur einen Hochpunkt haben, muss die größte momentane Änderungsrate links davon liegen. Denn rechts vom Hochpunkt ist der Graph der Funktion stets fallend. Wir überprüfen nun, ob wir dort noch einen Wendepunkt haben.
\(\\\)
Wendepunkt
Für den Wendepunkt gilt die
\(\\\)
notwendige Bedingung:
\(h''(t) = 0\)
\(\\\)
Wir berechnen \(t\) :
\(\\\) Ein Wendepunkt ist nur rechts vom Hochpunkt möglich. Einen Wendepunkt links vom Hochpunkt können wir also ausschließen.
\(\\\)
momentane Änderungsrate
Die maximale momentane Änderungsrate muss also am Rand vorliegen. Infrage kommt nur der linke Rand der Funktion bei \(t=0\) . Wir berechnen die momentane Änderungsrate mit der ersten Ableitung:
\(\\\) Die maximale momentane Änderungsrate haben wir also direkt bei der Aufnahme des koffeinhaltigen Getränks mit \(0{,}0007 \; \frac{mg}{ml}\) pro Minute.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 5 – Zeiträume
Wir bestimmen zunächst die Zeitpunkt, an denen eine Konzentration von \(0{,}007 \, \frac{mg}{ml}\) vorliegt.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 6 – Fläche
Wir berechnen folgende Fläche
\(\\\) mit
\(\\\) \( \quad solve \left( 0.7 = \displaystyle{\int}_0^a h(t)dt,a \right) \)
\(\\\)
Dieser Befehl macht mit dem Classpad allerdings Schwierigkeiten. Da wir die 2 Variablen, nämlich \(t\) und \(a\) , in der Gleichung haben, müssen wir ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen konstruieren. Dabei fügen wir eine wahre Aussage zu der Gleichung hinzu wie folgt:
\(\\\)
Da \(a > 0\) sein muss, ist \(a = 96{,}3653\) .
\(\\[1em]\)
Aussage
Die Werte für \(t\) sind in Minuten und für \(t\) in \(\frac{mg}{ml}\) angegeben. Daraus folgt, dass die Fläche in \(\frac{mg}{ml} \cdot min\) angegeben wird. Das ist aber nicht die Einheit für die Kaffeemenge. Diese würde in \(mg\) angegeben werden.
Also ist die Aussage falsch.
\(\\\)