Änderung der Küstenlinie
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Leuchtturm auf der Küstenlinie
Im Laufe der Jahre ändert die Küstenlinie ihren Verlauf,
\(\\\) so dass der Leuchtturm in absehbarer Zukunft vom Wasser umspült wird.
Um zu berechnen wann der Leuchtturm auf der Küstenlinie liegt, werden die Koordinaten des Leuchtturms mit \(L(0{,}5 | 1{,}5)\) in die Funktion \(f_a(x)\) eingesetzt.
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\( \quad \begin{array}{ r c l l l } 5 \cdot 0{,}5 e^{-0{,}05\cdot 0{,}5 a} + 1 & = & 1{,}5 & & | \; - 1 \\[6pt] 2{,}5 e^{-0{,}025 a} & = & 0{,}5 & & | \; : 2{,}5 \\[6pt] e^{-0{,}025 a} & = & 0{,}2 & & | \; ln \\[6pt] ln\left(e^{-0{,}025 a}\right) & = & ln(0{,}2) \\[6pt] -0{,}025 a & = & ln(0{,}2) & & | \; :(-0{,}025) \\[6pt] a & = & 64{,}3775 \\ \end{array} \)
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Im Laufe des Jahres \(2064\) wird der Leuchtturm auf der Küstenlinie stehen.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Ortskurve der Hochpunkte
Für die Hochpunkte benötigen wir noch die Koordinaten der \(y\)-Werte.
\( \quad \begin{array}{ r c l l } f\left(\frac{20}{a}\right) & = & 5 \cdot \frac{20}{a} e^{-0{,}05 a \cdot \frac{20}{a}} + 1 \\[6pt] &= & \frac{100}{a} e^{- 1} + 1 \\ \end{array} \)
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Daraus ergeben sich folgende Gleichungen:
\( \quad \begin{array}{ r c r c l } \textrm{I} & & x & = & \frac{20}{a} \\[6pt] \textrm{II} & & y & = & \frac{100}{a} e^{- 1} + 1 \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
Ortskurve aufstellen
- In Gleichung \(\textrm{I}\) Variable \(x\) nach Variable \(a\) auflösen :
\( \qquad \begin{array}{ r c r c l l } x & = & \frac{20}{a} & | \; \cdot a \\[6pt] ax & = & 20 & | : x \\[6pt] a & = & \frac{20}{x} \\ \end{array} \)
- \(a\) in Gleichung \(\textrm{II}\) einsetzen :
\( \qquad \begin{array}{ r c l c l l } y & = & \frac{100}{\frac{20}{x}} \cdot e^{- 1} + 1 \\[6pt] & = & 5x \cdot e^{- 1} + 1 \\[6pt] & = & \frac{5}{e}x + 1 \\ \end{array} \)
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Es ergibt sich als Ortskurve der Hochpunkte eine Gerade von der Form
\( \quad y \; = \; mx + b \)
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mit
\( \quad h(x) \; = \; \frac{5}{e}x + 1 \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Länge des Weges
Um die Position des Hochpunktes zu ermitteln, der genau nördlich vom Leuchtturm liegt,
setzen wir die \(x\)-Koordinate des Leuchtturms in die Ortsgerade \(h\) ein.
\( \quad h(0{,}5) \; = \; \frac{5}{e} \cdot 0{,}5 + 1 \; = \; 1{,}92 \)
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Mit dem Wert \(y=1{,}92\) können wir nun die Länge des Weges bestimmen.
\( \quad 1{,}92 \; - \; 1{,}5 \; = \; 0{,}42 \)
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Der Weg ist \(42 \; m\) lang.
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