Funktionenschar h

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\(\\\)

Aufgabe 1 – nur eine Nullstelle

Es gilt

\( \quad \begin{array}{ r c l l } h_k(x) & = & 0 & \\[6pt] 0 & = & 10 \cdot \left(1 - e^{-kx} \right) \cdot e^{-x} & \quad \textrm{mit} \quad 10 \not= 0 \quad \textrm{und} \quad e^{-x} \not= 0 \\[8pt] 0 & = & 1 - e^{-kx} & | + e^{-kx} \\[6pt] e^{-kx} & = & 1 & | \; ln \\[6pt] -kx & = & ln(1) & \\[6pt] -kx & = & 0 & | : (-k) \qquad \textrm{mit} \quad k \not= 0 \\[6pt] x & = & 0 & \\ \end{array} \)

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 – Hochpunkt

notwendige Bedingung

\( \quad h_k'(x) = 0 \)

\(\\\)

\( \quad h'_k(x) \, = \, 10 \cdot \left((k + 1) \cdot e^{-kx} - 1 \right) \cdot e^{-x} \)

\(\\\)

\( \quad \begin{array}{ r c l l } 0 & = & 10 \cdot \left( (k + 1) \cdot e^{-kx} - 1 \right) \cdot e^{-x} & \quad \textrm{mit} \quad 10 \not= 0 \quad \textrm{und} \quad e^{-x} \not= 0 \\[6pt] 0 & = & (k + 1) \cdot e^{-kx} - 1 & | + 1 \\[6pt] 1 & = & (k + 1) \cdot e^{-kx} & | : (k + 1) \quad \textrm{mit} \quad k > 0 \\[6pt] \frac{1}{k + 1} & = & e^{-kx} & | \; ln \\[6pt] ln \left( \frac{1}{k + 1} \right) & = & - kx & | \; (-k)\\[6pt] -\frac{ln \left( \frac{1}{k + 1} \right)}{k} & = & x & \\ \end{array} \)

\(\\\)

Da es genau einen Hochpunkt gibt, muss \(- \frac{ln \left( \frac{1}{k + 1} \right)}{k}\) die gesuchte \(x\)-Koordinate sein.

\(\\\)