Modell eines Blauwals
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Funktion aufstellen
Funktion \(g\) ist eine Funktion 4. Grades. Wir definieren die allgemeine Funktion.
Beachte: Der Mal-Punkt muss bei der Definition mitgeschrieben werden.
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Es gelten nun folgende Bedingungen:
\( \quad \begin{array}{ l c c c l } A( 0|7 ) && \Rightarrow && g(0)=7 \\[6pt] B( 10|\frac{19}{4} ) && \Rightarrow && g(10)=\frac{19}{4} \\[6pt] C( 25| 7 ) && \Rightarrow && g(25)=7 \\[6pt] \textrm{gleiche Steigung bei} \; x=25 && \Rightarrow && g'(25)=f'(25) \\[6pt] \textrm{Steigung}=0 \; \textrm{bei} \; x=7{,}5 && \Rightarrow && g'(7{,}5)=0 \\ \end{array} \)
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Es wird jeweils die 1. Ableitung von \(f(x)\) und von \(g(x)\) benötigt. Wir definieren zunächst \(f(x)\).
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Wir wählen das Ableitungswerkzeug
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mit der \(\color{#CC0000}{rot}\) markierten Taste
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Die Ableitungen werden wie folgt gebildet:
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Um das Gleichungssystem zu lösen, verwenden wir folgendes Werkzeug.
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Zum Lösen der Gleichung benutzen wir den solve-Befehl.
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Nun lösen wir das Gleichungssystem, wobei wir 5 Gleichungen wählen:
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Mit
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können die Ergebnisse als Brüche anzeigt werden.
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Die Funktion \(g\) hat damit den Funktionsterm
\( \quad g(x) \; = \; \frac{1}{50000} x^4 - \frac{11}{5000} x^3 + \frac{29}{400} x^2 - \frac{3}{4} x + 7 \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – maximale Dicke des Längsschnitts
Zunächst wird Funktion \(g\) neu definiert.
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Die Dicke des Längsschnitts wird nun durch eine Funktion \(d\) mit
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definiert. Um das Maximum zu ermitteln, gilt die
\(\\[1em]\)
notwendige Bedingung
Es gilt \(d'(x)=0\) :
Wir definieren die 1. Ableitung von \(d\).
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und lösen die Gleichung. Mit \(ctrl\) \(enter\) werden die Lösungen dezimal angezeigt.
\(\\[1em]\)
hinreichende Bedingung
Um zu überprüfen, welche Art von Extrempunkte wir haben, brauchen wir die 2. Ableitung und definieren
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\(x=-71{,}2695\) liegt außerhalb des Definitionsbereichs beiden Funktionen und braucht nicht weiter überprüft werden.
\( \quad \begin{array}{ l c l } d2(8{,}76953) & < & 0 \quad \Rightarrow \quad \textrm{Maximum} \\[6pt] d2(25) & > & 0 \quad \Rightarrow \quad \textrm{Minimum} \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
Dicke bestimmen
\(8{,}76953\) eingesetzt in \(d\) ergibt
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Die maximale Dicke beträgt \(5{,}025 \; m\).
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