Wachstum eines Blauwals


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Aufgabe 1 Körperlänge des Blauwals

Die Funktion der Körperlänge ist eine Stammfunktion von der Funktion der Wachstumsrate \(w\). Wir definieren zunächst Funktion \(w\).

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Wir bilden eine Stammfunktion von \(w\) und nennen diese Aufleitung \(a\). Es gilt

\( \quad a(x) \; = \; \int w(x) dx \; , \)

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wobei das Integralsymbol hier zu finden ist.

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Wir definieren \(a\).

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Funktion \(a\) ist nun noch nicht die richtige Stammfunktion, denn es gilt ja noch, dass die Körperlänge des Blauwals bei der Geburt \(6 \; m\) beträgt. Für die richtige Stammfunktion \(s\) gilt

\( \quad s(x) \; = \; a(x) + C \)

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Wir berechnen die Konstante \(C\) wie folgt:

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Wir definieren nun \(s\)

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und berechnen die Körperlänge des Blauwals nach \(8\) Jahren.

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Der Blauwal ist nach \(8\) Jahren ungefähr \(21{,}8 \; m\) lang.

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 permanentes Wachstum

Betrachten wir die Länge des Wals \(\color{blue}{s(x)}\) und seine Wachstumsrate \(\color{red}{w(x)}\), so ist zu erkennen, dass die Körperlänge des Blauwals permanent zunimmt.

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Das heißt, das die Wachstumsrate für alle \(x\) positiv sein muss. Es gilt also

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Da die Körperlänge des Blauwals ständig zunimmt prüfen wir, ob für große Werte von \(x\) die Körperlänge unter \(29 \; m\) bleibt.

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\(\\\)

Beide Bedingungen sind erfüllt. Basierend auf der Funktion \(w\) kann der Blauwal nie eine Körperlänge von \(29 \; m\) erreichen.

\(\\[2em]\)

Aufgabe 3 ausgewachsener Blauwal

Wir lösen folgende Gleichung:

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\(\\\) Mit nahezu \(11\) Jahren ist der Blauwal ausgewachsen.

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