Durchmesser des Stammes
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Kippen wir den Baumstamm um 90°, so kann ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung auf Bodenhöhe des Baumstammes gelegt werden. Der Rotationskörper eines Kegelstumpfes entsteht nun, indem die Seitenlinie \(s\) um die \(x\)-Achse rotiert.
Mithilfe der Geraden, die entlang der Seitenlinie \(s\) verläuft, kann der gesuchte Durchmesser bestimmt werden. Dazu benötigen wir zunächst die Gerade. Es gilt mit dem eingezeichneten Steigungsdreieck und dem Achsenabschnitt \(r\)
\( \quad \begin{array}{ l c l } g(x) & = & m \cdot x + b \\[8pt] & = & -\frac{r-0{,}2}{1{,}3} \cdot x + r \\[8pt] & = & \frac{0{,}2-r}{1{,}3} \cdot x + r \\ \end{array} \)
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Über das Rotationsvolumen von \(0{,}17 \, m^3\) kann nun der Radius \(r\) auf Bodenhöhe bestimmt werden mit der Gleichung
\( \quad 0{,}17 \; = \; \pi \cdot \displaystyle{\int}_0^{1{,}3} \left(\frac{0{,}2-r}{1{,}3} \cdot x + r \right)^2 dx \)
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Dies ist offensichtlich eine Gleichung mit einer Unbekannten, da für \(x\) ja die Grenzen eingesetzt werden. Das erkennt der Classpad allerdings nicht. Deshalb müssen wir ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten aufstellen. Wir fügen eine wahre Aussage hinzu.
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Der Radius \(r\) kann nicht negativ sein. Deshalb muss \(r=0{,}2080185334\) sein. Es ergibt sich die Gerade \(g\) mit
\( \quad g(x) = \frac{0{,}2-0{,}2080185334}{1{,}3} \cdot x + 0{,}2080185334 \)
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Wir definieren Funktion \(g\) und berechnen den Radius des Stammes in einer Höhe von \(15 \; m\).
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In einer Höhe von \(15 \; m\) hat der Stamm einen Radius von \(11{,}55 \; cm\) und damit einen Durchmesser von \(23{,}1 \; cm\).
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