Funktion h


\(\\\)

Aufgabe 1 Koordinaten von W

Für den Wendepunkt gilt

\( \quad h''(t) \; = \; 0 \quad \textrm{und} \quad h'''(t) \not= 0 \)

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Wir definieren \(h(t)\).

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Wir lösen die Gleichung.

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Überprüfung des Ergebnisses:

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\(h'''\big( ln(11)+20 \cdot ln(3) \big) \not=0\). Damit ist ein Wendepunkt bei \(t=10 \cdot ln(99)\) vorhanden. Wir bestimmen nun noch den \(y\)-Wert.

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Mit den Logarithmengesetzen ist

\( \quad \begin{array}{ r c l } 10 \cdot ln(11)+20 \cdot ln(3) & = & 10 \cdot ln(11)+2 \cdot 10 \cdot ln(3) \\[6pt] & = & 10 \cdot ln(11)+10 \cdot ln\left(3^2\right) \\[6pt] & = & 10 \cdot \Big( ln(11) + ln\left(3^2\right) \Big) \\[6pt] & = & 10 \cdot \Big( ln\left(11 \cdot 3^2\right) \Big) \\ & = & 10 \cdot \big( ln(99) \big) \end{array} \)

\(\\\)

Der Wendepunkt hat die Koordinaten \(W\big((10 \; ln(99) | 25\big)\).

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 maximale Wachstumsgeschwindigkeit

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Die Funktion der Wachstumsgeschwindigkeit ist die Ableitungsfunktion von \(h\) und ist hier mit den \(y\)-Werten um das 50-fache vergrößert dargestellt. Das heißt, dass der \(t\)-Wert des Maximums der Wachstumsgeschwindigkeit der gleiche ist wie der \(t\)-Wert des Wendepunktes von \(h\). Also ist \(t=10 \cdot ln(99)\).

Die Wachstumsgeschwindigkeit an dieser Stelle berechnen wir mit der 1. Ableitung von \(h\).

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\(\\\)

Die maximale Wachstumsgeschwindigkeit liegt bei \(125 \; \frac{cm}{a}\), also \(25 \; \frac{cm}{a}\) weniger als bei den von den Forstbeamten beobachteten Ausnahmen.

\(\\[2em]\)

Aufgabe 3 Tangente im Punkt W

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Die Tangente ist allgemein beschrieben durch

\( \quad y(t) \; = \; mt + b \)

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Mit \(m =1{,}25\) und dem Punkt \(W\big((10 \; ln(99) | 25\big)\) erhalten wir \(b\).

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\(\\\)

Wir erhalten die Tangentengleichung \(y(t)\)

\( \quad y(t) \; = \; 1{,}25t - 32{,}43899813 \)

\(\\\)

und definieren sie.

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Die Abweichung der Tangentenwerte von den Werte der Funktion \(h\) definieren wir mit

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\(\\\)

Da im Wendepunkt \(y(t)=h(t)\) und damit \(a(t)=0\) ist, kann die maximale Abweichung nur an den Rändern des Intervalls \([40;50]\) liegen.

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Die maximale Abweichung liegt also bei \(t=40\). Wir berechnen die prozentuale maximale Abweichung zur Beschreibung durch die Tangente mit

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Die maximale Abweichung beträgt \(1{,}2\%\).

\(\\\)