Funktion h
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
Aufgabe 1 – Koordinaten von W
Für den Wendepunkt gilt
\( \quad h''(t) \; = \; 0 \quad \textrm{und} \quad h'''(t) \not= 0 \)
\(\\\)
Wir definieren \(h(t)\).
\(\\\)
Wir lösen die Gleichung.
\(\\\)
Überprüfung des Ergebnisses:
\(\\\)
\(h'''\big( ln(11)+20 \cdot ln(3) \big) \not=0\). Damit ist ein Wendepunkt bei \(t=10 \cdot ln(99)\) vorhanden. Wir bestimmen nun noch den \(y\)-Wert.
\(\\\)
Mit den Logarithmengesetzen ist
\( \quad \begin{array}{ r c l } 10 \cdot ln(11)+20 \cdot ln(3) & = & 10 \cdot ln(11)+2 \cdot 10 \cdot ln(3) \\[6pt] & = & 10 \cdot ln(11)+10 \cdot ln\left(3^2\right) \\[6pt] & = & 10 \cdot \Big( ln(11) + ln\left(3^2\right) \Big) \\[6pt] & = & 10 \cdot \Big( ln\left(11 \cdot 3^2\right) \Big) \\ & = & 10 \cdot \big( ln(99) \big) \end{array} \)
\(\\\)
Der Wendepunkt hat die Koordinaten \(W\big((10 \; ln(99) | 25\big)\).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – maximale Wachstumsgeschwindigkeit
Die Funktion der Wachstumsgeschwindigkeit ist die Ableitungsfunktion von \(h\) und ist hier mit den \(y\)-Werten um das 50-fache vergrößert dargestellt. Das heißt, dass der \(t\)-Wert des Maximums der Wachstumsgeschwindigkeit der gleiche ist wie der \(t\)-Wert des Wendepunktes von \(h\). Also ist \(t=10 \cdot ln(99)\).
Die Wachstumsgeschwindigkeit an dieser Stelle berechnen wir mit der 1. Ableitung von \(h\).
\(\\\)
Die maximale Wachstumsgeschwindigkeit liegt bei \(125 \; \frac{cm}{a}\), also \(25 \; \frac{cm}{a}\) weniger als bei den von den Forstbeamten beobachteten Ausnahmen.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Tangente im Punkt W
\(\\\)
Die Tangente ist allgemein beschrieben durch
\( \quad y(t) \; = \; mt + b \)
\(\\\)
Mit \(m =1{,}25\) und dem Punkt \(W\big((10 \; ln(99) | 25\big)\) erhalten wir \(b\).
\(\\\)
Wir erhalten die Tangentengleichung \(y(t)\)
\( \quad y(t) \; = \; 1{,}25t - 32{,}43899813 \)
\(\\\)
und definieren sie.
\(\\\)
Die Abweichung der Tangentenwerte von den Werte der Funktion \(h\) definieren wir mit
\(\\\)
Da im Wendepunkt \(y(t)=h(t)\) und damit \(a(t)=0\) ist, kann die maximale Abweichung nur an den Rändern des Intervalls \([40;50]\) liegen.
\(\\\)
Die maximale Abweichung liegt also bei \(t=40\). Wir berechnen die prozentuale maximale Abweichung zur Beschreibung durch die Tangente mit
\(\\\)
Die maximale Abweichung beträgt \(1{,}2\%\).
\(\\\)