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Aufgabe 1 Baumdiagramm

Die Wahrscheinlichkeit einer Garantieverlängerung unter der Voraussetzung, dass ein Fahrrad im Laden gekauft wurde, wird mit der bedingten Wahrscheinlichkeit

\( \quad P_L(G) \; = \; \frac{P(L \cap G)}{P(L)} \; = \; \frac{0{,}56}{0{,}7} \; = \; 0{,}8 \)

berechnet.

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Die Wahrscheinlichkeit, dass für ein zufällig ausgewähltes Fahrrad eine Garantieverlängerung abgeschlossen wird ist

\( \quad P(G) \; = \; P(L \cap G) + P(O \cap G) \; = \; 0{,}56 \cdot 0{,}135 \; = \; 0{,}695 < 0{,}7 \)

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 Signifikanztest

\(x\) beschreibt die Anzahl der Fahrräder, für die bei einem Onlinekauf eine Garantieverlängerung abgeschlossen wird und ist binomialverteilt mit \(n=80\).

Bisher war die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Onlinekauf eine Garantieverlängerung abgeschlossen wird, \(p=45\%\). Der Händler vermutet nun, dass diese Wahrscheinlichkeit gestiegen ist. Diese Vermutung ist mit \(h_1\) zu stützen.

Wir wählen

\(h_1 : \, p > 0{,}45\) als zu beweisende Hypothese

\(h_0 : \; p \leq 0{,}45\) als Gegenhypothese, der Nullhypothese

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Bei einem Signifikanztest können wir nicht unmittelbar ermitteln, in welchem Intervall \(h_1\) gilt. Denn es ist nicht ausgeschlossen, dass \(h_0\) dort auch gilt. Vielmehr gehen wir indirekt vor und ermitteln zunächst, in welchem Bereich \(h_0\) nicht gilt.

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\(\\\) Wie hier zu sehen ist liegt ein rechtsseitiger Test vor, denn das \(k\) grenzt \(h_0\) nach rechts gegen die Hypothese \(h_1\) ab. Oder anders ausgedrückt: Der zu berechnende Verwerfungsbereich von \(h_0\) liegt auf der rechten Seite.

Es wird nun der Verwerfungsbereich \(V [ k ; 80 ]\) mit \(\alpha = 5%\) von \(h_0\) berechnet mit

\( \quad P(x \geq k) \leq 0{,}05 \)

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Das \(x \geq\) wird in \(x \leq\) umgeformt zur Berechnung mit der kumulierten Verteilung.

\( \quad \begin{array}{ r c l l } P(x \geq k) & \leq & 0{,}05 \\[6pt] 1 - P(x \leq k-1) & \leq & 0{,}05 & | -1 \\[6pt] -P(x \leq k-1) & \leq & -0{,}95 & | \cdot (-1) \\[6pt] P(x \leq k-1) & \geq & 0{,}95 \\ \end{array} \)

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Diese Ungleichung können wir nun nicht berechnen (eine Ausnahme bilden die CAS-Rechner: mit dem Casio Classpad zum Beispiel kann der Befehl invBinomialCdf verwendet werden), denn die Binomialverteilung liegt als diskrete Funktion vor. Das heißt, dass es nur einzelne Punkte der Verteilung mit \(x \in \{0, 1, 2, 3, \dots , 80 \}\) gibt. Es entsteht somit eine Treppenform.

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Die Lösung ist nun, Die Binomialverteilung näherungsweise durch eine stetige Funktion, also eine Funktion, die lückenlos alle \(x\)-Werte abdeckt, darzustellen. Es bietet sich die Normalverteilung an.

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Es gilt

\( \quad \begin{array}{ r c l l } P(x \leq k-1) & \geq & 0{,}95 \\[6pt] \Phi(z_0) & \geq & 0{,}95 \\ \end{array} \)

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Denn \(\Phi(z)\) ist die Stammfunktion von \(\varphi(z)\). Also wird die kumulierte Wahrscheinlichkeit bis \(z_0\) über die hellblaue Fläche mit

\( \quad \displaystyle{\int}_{-\infty}^{z_0}\varphi(z)dz \; = \; \Phi(z_0) \)

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berechnet. Um z zu berechnen, benötigen wir \(\mu\) und \(\sigma\).

\( \quad \begin{array}{ l } \mu = n \cdot p = 80 \cdot 0{,}45 = 36 \\[6pt] \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{80 \cdot 0{,}45 \cdot (1-0{,}45)} = \sqrt{19{,}8} \\ \end{array} \)

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Mit der LaPlace-Bedingung muss \(\sigma>3\) sein, damit eine gute Näherung der Normalverteilung an die Binomialverteilung gewährleistet ist und der \(k\)-Wert hinreichend genau berechnet werden kann. Das ist hier gegeben.

Ferner ist zu beachten, dass der Annahmebereich \(A=\{0, \dots , k-1\}\)

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nicht ganz bis zum Ende des Annahmebereiches von \(h_0\) reicht. Zur Berechnung von \(z_0\) muss noch ein halber Streifen hinzugefügt werden. Es wird \(z_0\) ermittelt mit

\( \quad (k - 1) + 0{,}5 \; = \; k - 0{,}5 \)

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Wir nun berechnen mit der inversen Normalverteilung

\( \quad \begin{array}{ r c l l } \Phi (z_0) & = & 0{,}95 & \\[6pt] \Phi \left( \frac{k - 0{,}5 - \mu}{\sigma} \right) & = & 0{,}95 & \\[6pt] k - 0{,}5 & = & \Phi_{\mu ; \sigma}^{-1}(0{,}95) & \\[8pt] k - 0{,}5 & = & \Phi_{36 ; \sqrt{19{,}8}}^{-1}(0{,}95) & \\ \end{array} \)

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Beim CASIO fx-991 DE X gehen wir mit \(\boxed{MENU}\) \(\boxed{7}\) \(\boxed{3}\) zu der inversen Normalverteilung und geben

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ein. Zweimal mit \(\boxed{=}\) bestätigen ergibt

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\( \quad \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{array}{ r c l l } k - 0{,}5 & = & 43{,}32 & | + 0{,}5 \\[6pt] k & = & 43{,}82 & \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1} \)

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Damit müsste \(k=44\) und \(k-1 = 43\) sein.

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Die Überprüfung mit der kumulierten Binomialverteilung mit \(n=80\) und \(p=0{,}45\) ergibt

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Es gilt nun

\( \quad \begin{array}{ r c l l } P(x \leq k-1) & \geq & 0{,}95 \\[6pt] P(x \leq 43) & \geq & 0{,}95 \\ \end{array} \)

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Also ist \(k-1 = 43\) und \(k=44\). Damit ist die Berechnung mithilfe der Normalverteilung bestätigt.

Wir erhalten den Annahmebereich und den Verwerfungsbereich von \(h_0\) mit

\( \quad A=[0 ; 43] \quad \textit{und} \quad V=[44 ; 80] \)

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Entscheidungsregel

Haben wir bei dieser Stichprobe mit einer Stichprobengröße von \(80\) mindestens \(44\) Fahrrädern, bei der eine Garantieverlängerung abgeschlossen wurde, so kann mit \(95\%\)-iger Sicherheit (Irrtumswahrscheinlichkeit: \(\alpha=5\%\)) die Vermutung des Händlers gestützt werden.
Andernfalls müsste die Vermutung des Händlers verneint werden.

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