Funktion f
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Funktionsterm
\( \quad \begin{array}{ r c l } f(x) & = & ax^3 + bx^2 + cx + d \\[6pt] f'(x) & = & 3ax^2 +2 bx + c \\[6pt] f''(x) & = & 6ax +2 b \\ \end{array} \)
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Um den Funktionsterm zu bestimmen benötigen wir 4 voneinander unabhängige Bedingungen, denn wir haben die 4 Parameter \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\).
Es gilt mit dem Punkt \(P(0|3)\) und dem Wendepunkt \(W(3|4)\), dessen Tangentensteigung \(m = 0\) ist,
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\( \quad \begin{array}{ l r c c l } \text{Punkt P :} & \quad \textrm{I} & f(0) & = & 3 \\[6pt] \text{Wendepunktkoordinaten :} & \quad \textrm{II} & f(3) & = & 4 \\[6pt] \text{Tangensteigung :} & \quad \textrm{III} & f'(3) & = & 0 \\[6pt] \text{Wendepunkteigenschaft :} & \quad \textrm{IV} & f''(3) & = & 0 \\ \end{array} \)
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Diese Bedingungen in die oberen Gleichungen eingesetzt ergibt
\( \quad \begin{array}{ r c c l l } \textrm{I} & 3 & = & a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d \\[6pt] \textrm{II} & 4 & = & a \cdot 3^3 + b \cdot 3^2 + c \cdot 3 + d \\[6pt] \textrm{III} & 0 & = & 3a \cdot 3^2 + 2b \cdot 3 + c \\[6pt] \textrm{IV} & 0 & = & 6a \cdot 3 + 2b \\ \end{array} \)
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\( \quad \begin{array}{ r c c l l } \textrm{I} & 3 & = & d \\[6pt] \textrm{II} & 4 & = & 27a + 9b + 3c + d \\[6pt] \textrm{III} & 0 & = & 27a + 6b + c \\[6pt] \textrm{IV} & 0 & = & 18a + 2b \\ \end{array} \)
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Um das Gleichungssystem zu lösen gibt es grundsätzlich 2 Möglichkeiten:
- Lösung per Hand
- Lösung mit Taschenrechner
\(\\[2em]\)
Gleichungssystem per Hand lösen
Zunächst setzen wir Gleichung \(\textrm{I}\) in Gleichung \(\textrm{II}\) ein.
\( \quad \begin{array}{ r r c l l } \textrm{II} & 4 & = & 27a + 9b + 3c + 3 & | - 3 \\[6pt] & 1 & = & 27a + 9b + 3c \\ \end{array} \)
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Im Gleichungssystem beseitigen wir erst das \(c\) und danach \(a\) mit dem Additionsverfahren.
\( \quad \left. \begin{array}{ r r c l l } \textrm{II} & \quad 1 & = & 27a + 9b + 3c & \\[6pt] \textrm{III} & 0 & = & 27a + 6b + c & | \cdot (-3) \\ \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{V}}^+ \\ \)
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\( \quad \left. \begin{array}{ r r c r l } \textrm{V} & \quad 1 & = & -54a - 9b & \\[6pt] \textrm{IV} & 0 & = & 18a + 2b & | \cdot 3 \\ \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{VI}}^+ \\ \)
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\( \quad \begin{array}{ r r c r l } \textrm{VI} & 1 & = & - 3b & | : (-3) \\[6pt] & -\frac{1}{3} & = & b & \\ \end{array} \)
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Wir setzen \(b\) in Gleichung \(\textrm{V}\) ein.
\( \quad \begin{array}{ r r c l l } \textrm{V} & 1 & = & -54a - 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) & \\[6pt] & 1 & = & -54a + 3 & | + 54a \\[6pt] & 54a + 1& = & 3 & | - 1 \\[6pt] & 54a & = & 2 & | : 54 \\[6pt] & a & = & \frac{1}{27} & \\ \end{array} \)
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Zum Schluss setzen wir \(a\) und \(b\) in Gleichung \(\textrm{III}\) ein.
\( \quad \begin{array}{ r r c l l } \textrm{III} & 0 & = & 1 - 2 + c & \\[6pt] & 0 & = & - 1 + c & | + 1 \\[6pt] & 1 & = & c & \\ \end{array} \)
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Der Term von \(f\) lautet
\( \quad \frac{1}{27} x^3 - \frac{1}{3} x^2 + x + 1 \)
\(\\[2em]\)
Gleichungssystem per Taschenrechner lösen
Mit dem CASIO fx-991DE X classwiz lassen sich Gleichungssystem mit bis zu 4 Gleichungen lösen, also auch dieses.
\( \quad \begin{array}{ r c c l l } \textrm{I} & 3 & = & d \\[6pt] \textrm{II} & 4 & = & 27a + 9b + 3c + d \\[6pt] \textrm{III} & 0 & = & 27a + 6b + c \\[6pt] \textrm{IV} & 0 & = & 18a + 2b \\ \end{array} \)
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Andere Taschenrechner, die nur Gleichungssystem mit bis zu 3 Gleichungen lösen können, verwenden das Gleichungssystem, bei dem \(d\) bereits in Gleichung \(\textrm{II}\) eingesetzt ist.
\( \quad \begin{array}{ r c c l l } \textrm{II} & 1 & = & 27a + 9b + 3c \\[6pt] \textrm{III} & 0 & = & 27a + 6b + c \\[6pt] \textrm{IV} & 0 & = & 18a + 2b \\ \end{array} \)
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Nachdem wir mit der Menusteuerung bei dem Punkt Gleichungssyst. angelangt sind
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wählen wir die \(\boxed{4}\) und geben das Gleichungssystem ein.
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Wir bestätigen mit \(\boxed{=}\).
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Wir bestätigen noch einmal mit \(\boxed{=}\).
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Und noch einmal.
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Der Term von \(f\) lautet also
\( \quad \frac{1}{27} x^3 - \frac{1}{3} x^2 + x + 1 \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Höhe des Dachfirsts
\( \quad f(1) \; = \; \frac{1}{27} \cdot 1^3 - \frac{1}{3} \cdot 1^2 + x + 3 \; = \; \frac{100}{27}\; \approx \; 3{,}7 \)
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Der Dachfirst hat an der Stelle \(x=1\) eine Höhe von \(37 \; m\) über dem Boden.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Ableitungsfunktion von f
\( \quad f'(x) \; = \; \frac{1}{9} x^2 - \frac{2}{3} x + 1 \)
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Die Steigung des Graphen an einer Stelle wird mit der Tangentensteigung an dieser Stelle, und somit mit der 1. Ableitung bestimmt.
\( \quad f'(0) \; = \; \frac{1}{9} \cdot 0^2 - \frac{2}{3} \cdot 0 + 1 \; = \; 1 \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 4 – Krümmung
Die Krümmung wird mit der 2. Ableitung bestimmt.
\( \quad \begin{array}{ r c l l } f''(x) & = & \frac{2}{9} x - \frac{2}{3} \end{array} \)
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Wir prüfen die Krümmung an der Stelle \(x=2\).
\( \quad \begin{array}{ r c l l } f''(2) & = & \frac{2}{9} \cdot 2 - \frac{2}{3} \\[8pt] f''(2) & = & \frac{4}{9} - \frac{6}{9} \\[8pt] f''(2) & = & -\frac{2}{9} \; > \; 0 & \Rightarrow \text{rechtsgekrümmt} \\ \end{array} \)
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Ferner muss noch gezeigt werden, dass kein Krümmungswechsel für \(0 \leq x < 3\) stattfindet. Das wäre der Fall, wenn in diesem Bereich ein Wendepunkt vorhanden ist. Dafür gilt die notwendige Bedingung \(f''(x) = 0\).
\( \quad \begin{array}{ r c l l } \frac{2}{9} x - \frac{2}{3} & = & 0 & | + \frac{2}{3} \\[8pt] \frac{2}{9} x & = & \frac{2}{3} & | \cdot \frac{9}{2} \\[8pt] \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{9} x & = & \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 2} \\[8pt] x & = & 3 \\ \end{array} \)
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Eine mögliche Wendestelle wäre bei \(x = 3\). Das liegt außerhalb des betrachteten Intervalls. Damit ist der Graph für alle \(x < 3\) rechtsgekrümmt.
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