Funktion g


\(\\\)

Aufgabe 1 Wertetabelle und Graph von g

my image

my image

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 knickfreier Übergang

Von der Funktion \(f\) wissen wir, dass der Graph in \(W\) einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente hat. Also ist \(f'(3) = 0\). Damit der Graph von \(g\) dort knickfrei anschließt muss gelten

\( \quad g'(3) \; = \; f'(3) \)

\(\\\)

Wir prüfen dies mit

\( \quad g'(3) \; = \; (3 - 2) \cdot e^{3 - 5{,}5} \; = \; e^{-2{,}5} \; \approx \; 0{,}0821 \)

\(\\\)

Damit ist

\( \quad g'(3) \; \not= \; f'(3) \)

\(\\\)

my image

Hier gestreckt dargestellt ist deutlich zu sehen, dass der Übergang nicht knickfrei ist.

\(\\[2em]\)

Aufgabe 3 Extremstellen und Wendestellen

Extremstellen

Es gilt die notwendige Bedingung: \(g'(x)=0\)

\( \quad \begin{array}{ r c l l } 0 & = & (x - 2) \cdot e^{x - 5{,}5} \end{array} \)

\(\\\)

Nach der Regel vom Nullprodukt muss gelten, dass

\( \quad \begin{array}{ r c l l } (x - 2) = 0 & \text{und / oder} & e^{x - 5{,}5} = 0 \\ \end{array} \)

\(\\\)

ist. Da stets \(e^{x - 5{,}5} > 0\) ist, bleibt nur

\( \quad \begin{array}{ r c l l } x - 2 = 0 & | + 2 \\[6pt] x = 2 \\ \end{array} \)

\(\\\)

Mit der hinreichenden Bedingung \(g''(x) \not=0\) überprüfen wir auf die Art der Extremstelle. Dazu benötigen wir die 2. Ableitung.

\( \quad \begin{array}{ c l } g''(x) & = \; u' \cdot v \; + \; u \cdot v' \\[15pt] & \textit{Nebenrechnung 1 } \\[6pt] & u \; = \; x - 2 \\[6pt] & u' \; = \; 1 \\[6pt] & v \; = \; e^{x - 5{,}5} \; = \; r\Big(s(x)\Big) \\[15pt] & \; \qquad \textit{Nebenrechnung 2 } \\[6pt] & \; \qquad s(x) \; = \; x - 5{,}5 \\[6pt] & \; \qquad s'(x) \; = \; 1 \\[6pt] & \; \qquad r(x) \; = \; e^x \\[6pt] & \; \qquad r'(x) \; = \; e^x \\[6pt] & \; \qquad r'\Big(s(x)\Big) \; = \; e^{x - 5{,}5} \\[15pt] & v' \; = \; s'(x) \cdot r'\Big(s(x)\Big) \; = \; 1 \cdot e^{x - 5{,}5} \; = \; e^{x - 5{,}5} \\[15pt] g''(x) & = \; 1 \cdot e^{x - 5{,}5} + (x - 2) \cdot e^{x - 5{,}5} \\[8pt] g''(x) & = \; (1 + x - 2) \cdot \left( e^{x - 5{,}5}\right) \\[8pt] g''(x) & = \; (x - 1) \cdot \left( e^{x - 5{,}5}\right) \\ \end{array} \)

\(\\\)

\(x=2\) eingesetzt ergibt

\( \quad \begin{array}{ r c l l } g''(2) & = & (2 - 1) \cdot \left( e^{2 - 5{,}5}\right) \; = \; e^{- 3{,}5} \; = \; \frac{1}{e^{3{,}5}} \; > \; 0 \\ \end{array} \)

\(\\\)

Der Graph der Funktion \(g\) hat an der Stelle \(x=2\) einen Tiefpunkt. Um den \(y\)-Wert zu erhalten, setzen wir \(x=2\) in \(g(x)\) ein.

\( \quad \begin{array}{ r c l l } g(2) & = & (2 - 3) \cdot \left( e^{2 - 5{,}5}\right) + 4 \; \approx \; 3{,}97 \\ \end{array} \)

\(\\\)

Der Tiefpunkt liegt bei \(T(2|3{,}97)\).

\(\\[2em]\)

Wendestellen

Es gilt die notwendige Bedingung: \(g''(x)=0\)

\( \quad \begin{array}{ r c l l } 0 & = & (x - 1) \cdot e^{x - 5{,}5} \\ \end{array} \)

\(\\\)

Wir wenden wieder die Regel vom Nullprodukt an und erhalten mit \(e^{x - 5{,}5} > 0\)

\( \quad \begin{array}{ r c l l } x - 1 = 0 & | + 1 \\[6pt] x = 1 \\ \end{array} \)

\(\\\)

Hier gilt die hinreichende Bedingung \(g'''(x) \not=0\). Entsprechend der Berechnung der 2. Ableitung bilden wir die 3. Ableitung mit der Produktregel.

\( \quad \begin{array}{ c l } g'''(x) & = \; u' \cdot v \; + \; u \cdot v' \\[15pt] & \textit{Nebenrechnung} \\[6pt] & u \; = \; x - 1 \\[6pt] & u' \; = \; 1 \\[6pt] & v \; = \; e^{x - 5{,}5} \\[6pt] & v' \; = \; e^{x - 5{,}5} \\[15pt] g'''(x) & = \; 1 \cdot e^{x - 5{,}5} + (x - 1) \cdot e^{x - 5{,}5} \\[8pt] g'''(x) & = \; x \cdot \left( e^{x - 5{,}5}\right) \\[20pt] g'''(1) & = \; 1 \cdot \left( e^{1 - 5{,}5}\right) \; = \; e^{- 4{,}5} \; \not= \; 0 \quad \Rightarrow \; \text{Wendepunkt} \\ \end{array} \)

\(\\\)

Eingesetzt in \(g\) erhalten wir

\( \quad \begin{array}{ r c l l } g(1) & = & (1 - 3) \cdot \left( e^{1 - 5{,}5}\right) + 4 \; \approx \; 3{,}98 \\ \end{array} \)

\(\\\)

den Wendepunkt \(W(1|3{,}98)\).

\(\\[2em]\)

Aufgabe 4 Funktionsterm von g*

Der Funktionsterm kann mit Hilfe der Funktionseigenschaften für Spiegelungen und Verschiebungen bestimmt werden.

Bei einer Spiegelung der Funktion \(g\) mit

\( \quad \begin{array}{ r c l} g(x) & = & (x - 3) \cdot \left( e^{x - 5{,}5}\right) \end{array} \)

\(\\\)

um die \(y\)-Achse wird das \(x\) negativ gesetzt mit

\( \quad \begin{array}{ r c l} g^-(x) & = & (-x - 3) \cdot \left( e^{-x - 5{,}5}\right) \end{array} \)

\(\\\)

my image

\(\\\)

Bei einer Verschiebung um \(12\) Einheiten nach rechts müsste der \(x\)-Wert um \(12\) herabgesenkt werden, damit bei den \(x\)-Werten, die \(12\) weiter rechts liegen, die gleichen \(y\)-Werte erscheinen.

my image

Das ergibt dann

\( \quad \begin{array}{ r c l} g^*(x) & = & \big(-(x-12) - 3\big) \cdot \left( e^{-(x-12) - 5{,}5}\right) \\[8pt] & = & (-x+12 - 3) \cdot \left( e^{-x+12 - 5{,}5}\right) \\[8pt] & = & (-x+9) \cdot \left( e^{-x+6{,}5}\right) \\ \end{array} \)

\(\\\)

Daraus folgt, dass

\( \quad \begin{array}{ r c c } a & = & -1 \\[6pt] b & = & 9 \\[6pt] c & = & 6{,}5 \\ \end{array} \)


ist.

\(\\\)