Funktionenschar
Inhaltsverzeichnis
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Punkt der Schar
Den Punkt eingesetzt in \(f_a\) ergibt
\(\quad \begin{array}{ r c l l } 1 & = & 1 \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot 1^2 + \frac{1}{2}} \\[6pt] 1 & = & e^{-\frac{1}{2}a + \frac{1}{2}} & \bigl|\; ln \\[6pt] 0 & = & -\frac{1}{2}a + \frac{1}{2} & \bigl|\, +\frac{1}{2}a \\[6pt] \frac{1}{2}a & = & \frac{1}{2} & \bigl| \; : \frac{1}{2} \\[6pt] a & = & 1 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Nur \(f_1(x)\) enthält den Punkt \((1|1)\).
\(\\[2em]\)
Steigung und y-Achsenabschnitt der Geraden
\(\quad \begin{array}{ r c l } f_0(x) & = & x \cdot e^{-\frac{1}{2} \cdot 0 \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \\[6pt] & = & x \cdot e^{\frac{1}{2}} \\[6pt] & = & \sqrt{e} \cdot x \\ \end{array} \)
\(\\\)
\(f_0\) ist eine Ursprungsgerade von der Form
\(\quad y \; = \; m \cdot x \\ \)
und verläuft deshalb durch den Koordinatenursprung mit der Steigung \(m=\sqrt{e}\).
\(\\[2em]\)
Aussagen
Aussage 1
Alle Graphen der Schar laufen (unabhängig vom \(a\)-Wert) durch den Koordinatenursprung \((0|0)\).
Aussage 2
Für jedes \(a\) gilt, dass bei \(x=0\) die gleiche Steigung vorhanden ist wie bei \(f_0\) an dieser Stelle. Folglich haben alle Graphen der Schar im Koordinatenursrung die gleiche Steigung.
Aussage 3
Sind zwei Funktionswerte der Schar bei einem bestimmten \(x\)-Wert gleich, so muss es sich um dieselbe Funktion der Schar oder um \(x=0\) handeln. Daraus ergibt sich, dass alle Funktionswerte für verschiedene Funktionen der Schar an einer bestimmten Stelle verschieden sind mit Ausnahme der Stelle \(x=0\).
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Zusammengefasst ergibt sich:
Alle Graphen der Schar gehen durch den Koordinatenursprung und haben dort die gleiche Steigung. Außerdem gibt es keine andere Stelle, an der sich zwei verschiedene Graphen der Schar schneiden.
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