Funktion h
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Funktionsterm herleiten
Der Funktionsterm von \(h\) kann auf zweierlei Arten hergeleitet werden:
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In beiden Fällen wird die \(y\)-Koordinate des Schnittpunktes mit der Funktion \(g\) benötigt.
\( \quad \begin{array}{ r c l c l } g(12{,}3) & = & 2 e^{-0{,}4 \cdot (12{,}3 - 10)^2} & \approx & 0{,}241 \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
Aufstellen eines Gleichungssystems
Für die Parabel benötigen wir die allgemeine Gleichung von \(h\) sowie deren Ableitung.
\( \quad \begin{array}{ r c l } h(x) & = & ax^2 + bx + c \\[6pt] h'(x) & = & 2ax + b \\ \end{array} \)
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Um den Funktionsterm zu bestimmen benötigen wir 3 voneinander unabhängige Bedingungen, denn wir haben die 3 Parameter \(a\), \(b\) und \(c\).
Es gilt mit dem Punkt \((12{,}3|0{,}241)\) und dem Scheitelpunkt \(P(10|2)\), dessen Tangentensteigung \(m = 0\) ist.
\( \quad \begin{array}{ l r c c l } \text{Punkt :} & \quad \textrm{I} & h(12{,}3) & = & 0{,}241 \\[6pt] \text{Scheitelpunktkoordinaten :} & \quad \textrm{II} & h(10) & = & 2 \\[6pt] \text{Tangensteigung :} & \quad \textrm{III} & h'(10) & = & 0 \\ \end{array} \)
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Diese Bedingungen in die oberen Gleichungen eingesetzt ergibt
\( \quad \begin{array}{ r l c l c l c l } \textrm{I} & 0{,}241 & = & a \cdot 12{,}3^2 & + & b \cdot 12{,}3 & + & c \\[6pt] \textrm{II} & 2 & = & a \cdot 10^2 & + & b \cdot 10 & + & c \\[6pt] \textrm{III} & 0 & = & 2a \cdot 10 & + & b \\ \end{array} \)
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\( \quad \begin{array}{ r l c r c r c r } \textrm{I} & 0{,}241 & = & 151{,}29 \, a & + & 12{,}3 \, b & + & c \\[6pt] \textrm{II} & 2 & = & 100 \, a & + & 10 \, b & + & c \\[6pt] \textrm{III} & 0 & = & 20 \, a & + & b \\ \end{array} \)
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Zwei Gleichungen enthalten ein \(c\). Wir beseitigen das \(c\) mit dem Additionsverfahren.
\( \quad \left. \begin{array}{ r l c r c r c c c l } \textrm{I} & 0{,}241 \; \; \; \; & = & 151{,}29 \, a & + & 12{,}3 \, b & + & c \\[6pt] \textrm{II} & 2 & = & 100 \, a & + & 10 \, b & + & c && | \cdot (-1) \\ \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{IV}}^+ \\ \)
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\( \quad \begin{array}{ r c c l l l } \textrm{IV} & -1{,}759 & = & \; 51{,}29 \, a & + & 2{,}3 \, b \\ \end{array} \)
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Zur Gleichung \(\textrm{IV}\) nehmen wir Gleichung \(\textrm{III}\) hinzu und eliminieren das \(b\).
\( \quad \left. \begin{array}{ r c c r c r c c c l } \textrm{III} & 0 & = & 20 \, a & + & b && | \cdot (-2{,}3) \\[6pt] \textrm{IV} & -1{,}759 & = & \; 51{,}29 \, a & + & 2{,}3 \, b \\ \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{V}}^+ \\ \)
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\( \quad \begin{array}{ r c c l l l } \textrm{V} & -1{,}759 & = & \; 5{,}29 \, a && | \, :5{,}29 \\[6pt] & -0{,}3325 & = & \; a \\ \end{array} \)
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Wir setzen \(a\) in Gleichung \(\textrm{IV}\) ein.
\( \quad \begin{array}{ r c c c l r l l } \textrm{IV} & -1{,}759 & = & \; 51{,}29 \cdot (-0{,}3325) & + & 2{,}3 \, b \\[6pt] & -1{,}759 & = & \; -17{,}054 & + & 2{,}3 \, b && | \, +17{,}054 \\[6pt] & 15{,}295 & = & & & 2{,}3 \, b && | \, :2{,}3 \\[6pt] & 6{,}65 & = & b \\ \end{array} \)
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Um \(c\) zu ermitteln, setzen wir \(a\) und \(b\) in Gleichung \(\textrm{II}\) ein.
\( \quad \begin{array}{ r r r c l r l l l l } \textrm{II} & 2 & = & 100 \cdot (-0{,}3325) & + & 10 \cdot 6{,}65 & + & c \\[6pt] & 2 & = & -33{,}25 & + & 66{,}5 & + & c \\[6pt] & 2 & = & 33{,}25 & & & + & c && | \, -33{,}25 \\[6pt] & -31{,}25 & = & c \\ \end{array} \)
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Die Gleichung von \(h\) lautet nun
\( \quad \begin{array}{ r c l } h(x) & = & -0{,}3325 x^2 + 6{,}65 x - 31{,}25 \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Scheitelpunktform der quadratischen Gleichung
Die allgemeine Scheitelpunktform der Funktion \(h\) ist
\( \quad h(x) \; = \; a \cdot (x - d)^2 + e \)
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mit dem Scheitelpunkt \(S(d|e)\), der im diesem Fall bei \(P\) liegt. Außerdem haben wir noch den Punkt \((12{,}3|0{,}241)\). Um den Parametert \(a\) zu bestimmen setzen wir alle gegebenen Werte in die Scheitelpunktform ein mit
\( \quad \begin{array}{ r c l } d & = & 10 \\[6pt] e & = & 2 \\[6pt] x & = & 12{,}3 \\[6pt] h(x) & = & 0{,}241 \\ \end{array} \)
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und erhalten
\( \quad \begin{array}{ r c l l } 0{,}241 & = & a \cdot (12{,}3 - 10)^2 + 2 \\[6pt] 0{,}241 & = & a \cdot 5{,}29 + 2 | \, -2 \\[6pt] -1{,}759 & = & 5{,}29 a | \, :5{,}29 \\[6pt] -0{,}3325 & = & a \\ \end{array} \)
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Wir setzen \(a\), \(d\) und \(e\) in die allgemeine Scheitelpunktform und erhalten die Scheitelpunktform von \(h\).
\( \quad h(x) \; = \; -0{,}3325 \cdot (x - 10)^2 + 2 \)
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Unter Verwendung der binomischen Formel formen wir die Scheitelpunktform in die Hauptform um.
\( \quad \begin{array}{ r c l } h(x) & = & -0{,}3325 \cdot (x - 10)^2 + 2 \\[6pt] & = & -0{,}3325 \cdot (x^2 - 20x + 100) + 2 \\[6pt] & = & -0{,}3325 x^2 + 6{,}65 x - 33{,}25 + 2 \\[6pt] & = & -0{,}3325 x^2 + 6{,}65 x - 31{,}25 \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Durchschnittliche Höhe über der Fahrbahn
Die Fläche zwischen der Fahrbahn \(g\) und der Flugbahn \(h\) gibt die Summe aller Höhenunterschiede in dem Bereich zwischen dem Startpunkt und Endpunkt der Flugbahn an.
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Die Fläche unterhalb der Differenzfunktion \(d\) mit
\( \quad d(x) \; = \; h(x) - g(x) \)
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ist flächengleich mit der oben angegeben Fläche und gibt ebenfalls die Summe aller Höhenunterschiede an. Gesucht ist nun die durchschnittliche Höhe über der Fahrbahn, die gleichzusetzen ist mit dem Durchschnitt der einzelnen Höhe der Funktion \(d\). Es existiert nun ein Rechteck,
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dass den gleichen Flächeninhalt wie die Fläche unter \(d\) hat. Außerdem hat dieses Rechteck genau die Länge \(12{,}3 - 10\). Daraus ergibt sich, dass die Höhe dieses Rechtecks die durchschnittliche Höhe über der Fahrbahn sein muss. Es gilt dann
\( \quad (12{,}3 - 10) \cdot \text{durchschnittliche Höhe} \; = \; \displaystyle{\int}_{10}^{12{,}3} d(x) dx \)
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Dies führt dann zu der allgemeinen Gleichung für Durchschnitte:
\( \quad \overline{x} \; = \; \frac{1}{b-a}\displaystyle{\int}_a^b f(x) dx \)
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Wir berechnen nun also die durchschnittliche Höhe mit
\( \quad \begin{array}{ r c l } \overline{x} & = & \frac{1}{12{,}3 - 10} \displaystyle{\int}_{10}^{12{,}3} d(x) dx \\[18pt] & = & \frac{1}{2{,}3} \displaystyle{\int}_{10}^{12{,}3} \big( h(x) - g(x) \big) dx \\[18pt] & = & \frac{1}{2{,}3} \displaystyle{\int}_{10}^{12{,}3} \Big( \big(-0{,}3325 \cdot (x - 10)^2 + 2 \big) - 2 e^{-0{,}4 \cdot (x - 10)^2} \Big)dx \\[16pt] & = & 0{,}24355 \\ \end{array} \)
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Die durchschnittliche Höhe der Flugbahn über der Fahrbahn beträgt ungefähr \(24 \, cm\).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Geschwindigkeit
An der Stelle \(x=10+k\) mit
\( \quad \begin{array}{ r c c l } \textrm{I} & h_v(10+k) & = & -\frac{5}{v^2}(10 + k - 10)^2 + 2 \\[8pt] \textrm{II} & g(10+k) & = & 2 \cdot e^{-0{,}4 \cdot ( 10 + k - 10)^2} \\ \end{array} \)
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schneiden sich die Graphen von \(g\) und \(h_v\). Es können die \(y\)-Werte also gleichgesetzt werden.
\( \quad \begin{array}{ r c l l } g(10+k) & = & h_v(10+k) \\[12pt] 2 \cdot e^{-0{,}4 \cdot ( 10 + k - 10)^2} & = & -\frac{5}{v^2}(10 + k - 10)^2 + 2 \\[12pt] 2 \cdot e^{-0{,}4 \cdot k^2} & = & -\frac{5}{v^2}k^2 + 2 & \Bigl| \, -2 \\[12pt] 2 \cdot e^{-0{,}4 \cdot k^2}- 2 & = & -\frac{5}{v^2}k^2 & \Bigl| \, \cdot v^2 \\[12pt] v^2 \cdot \left( 2 \cdot e^{-0{,}4 \cdot k^2}- 2 \right) & = & -5 k^2 & \Bigl| \, : \left( 2 \cdot e^{-0{,}4 \cdot k^2}- 2 \right) \\[12pt] v^2 & = & \frac{-5 k^2}{2 \cdot e^{-0{,}4 \cdot k^2}- 2} \\[12pt] v^2 & = & \frac{-5 k^2}{-\left( -2 \cdot e^{-0{,}4 \cdot k^2} + 2 \right)} \\[12pt] v^2 & = & \frac{5 k^2}{2 -2 \cdot e^{-0{,}4 \cdot k^2}} & \Bigl| \, \sqrt{\dots} \\[12pt] v & = & \pm \sqrt{\frac{5 k^2}{2 -2 \cdot e^{-0{,}4 \cdot k^2}}} \\[16pt] \end{array} \)
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Da \(v\) positiv sein muss, gilt
\( \quad \begin{array}{ r c l l } v & = & \sqrt{\frac{5 k^2}{2 -2 \cdot e^{-0{,}4 \cdot k^2}}} \\ \end{array} \)
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