Graph von \(\scriptstyle{G_a}\)


\(\\\)

Die Funtion \(f_a\) wird definiert mit

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\(\\\)

Aufgabe 1 Steigung des Wendepunktes

Die Funtion \(f_{\frac{3}{2}}\) wird definiert mit

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\(\\\)

Die Ableitungen werden in den mathematischen Vorlagen mit den Symbolen

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\(\\\)

geschrieben. Wir definieren wir die ersten drei Ableitungen von \(f_{\frac{3}{2}}\) mit \(g1\), \(g2\) und \(g3\).

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\(\\[1em]\)

Wendepunkte berechnen

Notwendige Bedingung: \(\, \scriptstyle{f''(x)=0}\)

Wir lösen dies mit dem Solve-Befehl:

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\(\\[1em]\)

Hinreichende Bedingung: \(\, \scriptstyle{f'''(x)\not=0}\)

Wir überprüfen die berechneten \(x\)-Werte mit der dritten Ableitung:

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\(\\\)

Die kleinste Steigung liegt dort vor, wo das größte Gefälle ist. Dieses kann nur in einem Wendepunkt liegen, in dem ein Krümmungswechsel von rechts nach links vorliegt. Das ist der Fall, wenn \(f'''(x_{_W}) > 0\) ist.

Folglich ist bei

\( \quad x \, = \, \frac{2 \cdot \sqrt{2}-1}{2} \)

\(\\\)

die kleinste Steigung.

\(\\[1em]\)

Funktionswert

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\(\\\)

Es ergibt sich der Wendepunkt \(W ( 0{,}91421 | 0{,}856084 )\).

\(\\[1em]\)

Steigung

Die Steigung wird mit der ersten Ableitung berechnet.

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\(\\\)

Im berechneten Wendepunkt liegt die kleinste Steigung des Graphen von \(-2{,}06677\).

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Schnittpunkte berechnen

Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse gilt \(x=0\). Daraus folgt:

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\(\\\)

Für die Nullstelle gilt

\( \quad f(x) \; = \; 0 \)

\(\\\)

Wir lösen die Gleichung.

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\(\\\)

Damit liegen die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bei \(S_y(0|a^2)\) und \(N(a|0)\).

\(\\[1em]\)

Begründen des Tiefpunktes

Der Term

\( \quad e^x \cdot (x-a)^2 \)

\(\\\)

kann nur Null werden, wenn

\( \quad (x-a)^2 \, = \, 0 \)

\(\\\)

ist. Denn \(e^x\) ist stets größer als Null, also positiv.

Zugleich ergibt sich für

\( \quad (x-a)^2 \)

\(\\\)

eine doppelte Nullstelle bei \(a\). Das heißt, dass bei \(x=a\) sowohl eine Nullstelle als auch ein Extrempunkt vorliegt. Ferner kann

\( \quad (x-a)^2 \)

\(\\\)

wegen der Quadrierung nur positive Werte annehmen, sofern \(x \not= a\) ist. Daraus folgt, dass

\( \quad e^x \cdot (x-a)^2 \)

\(\\\)

stets größer als Null ist für alle \(x \not= a\). Damit muss bei \(x=a\) ein Tiefpunkt vorliegen.

\(\\[2em]\)

Aufgabe 3 Fläche gleich 3

Wir berechnen die Fläche mit dem Integral von \(0\) bis \(a\).

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\(\\[2em]\)

Aufgabe 4 Gleichschenkliges Dreieck

Um \(a\) für ein gleichschenkliges Dreieck zu ermitteln, müssen drei Schritte durchgeführt werden:

\(\\[1em]\)

Extremstellen berechnen

Für die Extremstellen werden die ersten beiden Ableitungen benötigt.

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\(\\\)

Für die Berechnung der Extremstellen gilt die \textit{notwendige Bedingung}

\( \quad f'(x)=0 \)

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\(\\\)

Mit der hinreichenden Bedingung gilt

\( \quad f''(x_{_E}) \not= 0 \)

\(\\\)

Die berechneten \(x\)-Werte eingesetzt ergeben

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\(\\\)

Offensichtlich ist der Wert für \(f2(a)\) falsch. Denn wir wissen bereits, dass an der Stelle \(x=a\) ein Extrempunkt liegen muss. Damit gilt

\( \quad f''(a) \not= 0 \)

\(\\\)

Wir benennen \(f2(x)\) um und versuchen es erneut.

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\(\\\)

Es gilt

\( \quad \begin{array}{ c c c c l l } f''(a-2) & = & -2 \cdot e^{a-2} & < & 0 & \quad \Rightarrow \; \text{Hochpunkt} \\[5pt] f''(a) & = & 2 \cdot e^a & > & 0 & \quad \Rightarrow \; \text{Tiefpunkt} \\ \end{array} \)

\(\\\)

Wir benötigen noch die \(y\)-Werte:

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\(\\\)

Es ergeben sich die Extrempunkte \(H \left( a-2 \bigl| 4 \cdot e^{a-2}\right)\) und \(T ( a \bigl| 0 )\).

\(\\[1em]\)

Steigung der Gerade

Die Gerade geht durch die Punkte \(H \left( a-2 \bigl| 4 \cdot e^{a-2}\right)\) und \(T ( a \bigl| 0 )\). Die Steigung \(m\) ist beschrieben durch

\( \quad \displaystyle{m \, = \, \frac{s(x_{_H})-s(x_{_T})}{x_{_H}-x_{_T}} \, = \, \frac{4 \cdot e^{a-2}-0}{a-2-a} \, = \, \frac{4 e^{a-2}}{-2} \, = \, -2 e^{a-2} } \)

\(\\[1em]\)

Wert von a berechnen

Ein gleichschenkliges Dreieck hat genau zwei gleich lange Seiten. In einem rechtwinkligen Dreieck, müssen dies die beiden Katheten sein, da die Hypothenuse stets länger als eine Kathete ist.

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\(\\\)

Das heißt, dass der Achsenabschnitt und die Nullstelle der Gerade den gleichen Wert haben müssen. Anders ausgedrückt, muss

\( \quad m \, = \, -1 \)

\(\\\)

gelten.

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\(\\[1em]\)