Aufgaben

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\(\\\)

“Würfel”

Die Abbildung zeigt den Würfel \(EFGHPQRS\) mit \(E(0|0|0)\) und \(R(5|5|5)\) in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Ebene \(T\) schneidet die Kanten des Würfels unter anderem in den Punkten\(A(5|0|1)\), \(B(2|5|0)\), \(C(0|5|2)\) und \(D(1|0|5)\).

\(\quad\)

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\(\\[1em]\)

Punkte und Viereck

1. Geben Sie die Koordinaten der Punkte \(G\) und \(S\) an.

   (2 P)

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2. Zeichnen Sie das Viereck \(ABCD\) in die Abbildung ein.

   (2 P)

\(\\\)

3. Zeigen Sie, dass das Viereck \(ABCD\) ein Trapez ist, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.

   (3 P)

\(\\\)

4. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Vierecks \(ABCD\).

   (4 P)

Lösung

\(\\[1em]\)

Ebene T

1. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(T\) in Koordinatenform.

\( \qquad \left[\textrm{zur Kontrolle:} \quad T \, : \; 5x_1 + 4x_2 + 5x_3 - 30 = 0\,\right] \)

(4 P)

\(\\\)

2. Die Ebene \(T\) schneidet die Kante \(\overline{PS}\) des Würfels im Punkt \(Z\). Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes \(Z\).

   (4 P)

Lösung

\(\\[1em]\)

Spiegelebene T’

Die Ebene \(T'\) wird durch die Gleichung

\( \quad -5x_1 + 4x_2 + 5x_3 - 5 = 0 \)

\(\\\) beschrieben.

\(\\[1em]\)

1. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem sich \(T\) und \(T'\) schneiden.

   (3 P)

\(\\\)

2. Es gibt eine reelle Zahl a, so dass die Ebene T’ aus der Ebene T durch Spiegelung an der Ebene mit der Gleichung \(x_1 = a\) hervorgeht. Bestimmen Sie diese Zahl \(a\) .

   (4 P)

\(\\\)

Betrachte wird die Schar der Geraden

\( \quad \begin{array}{ c*{7}{c} } g_b : \vec{x} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2{,}5 \\ 0 \\ 3{,}5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ -10b \\ \frac{2}{b} \end{array} \right) \end{smallmatrix} & \textit{mit} & b \in \mathbb{R} ^+ & \textit{und} & r \in \mathbb{R}. \end{array} \)

\(\\\)

3. Begründen Sie, dass keine Gerade der Schar in der Ebene mit der Gleichung \(x_3 = 3{,}5\) liegt.

   (2 P)

\(\\\)

4. Untersuchen Sie, ob die Schnittgerade von \(T\) und \(T'\) zur betrachteten Schar gehört.

   (4 P)

Lösung

\(\\[2em]\)

Kugel und Pyramide

1. Bestimmen Sie die Gleichung einer Kugel mit dem Radius \(\sqrt{\frac{33}{2}}\), auf deren Oberfläche die Punkte \(P\), \(Q\), \(R\) und \(S\) liegen.

   (4 P)

\(\\\)

2. Die Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche \(ABCD\) liegt auf der Strecke \(\overline{QR}\). Untersuchen Sie, ob die Höhe dieser Pyramide \(2\) sein kann.

   (4 P)

Lösung

\(\\[2em]\)