Nullstellen ganzrationaler Funktionen höheren Grades

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Ganzrationale Funktionen n-ten Grades liegen in der Form

\( \quad f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0 \)

\(\\\)

vor. Da in der gymnasialen Oberstufe meist nicht über Funktionen 5. Grades hinaus gegangen wird und wir nicht befürchten müssen, dass uns die Buchstaben ausgehen, ist auch die Schreibweise

\( \quad f(x)=ax^n + bx^{n-1} + cx^{n-2}+ dx^{n-3} + \dots \)

üblich.

Für die Berechnung der Nullstellen für die Berechnung ganzrationaler Funktionen höheren Grades, gemeint sind hier Funktionen 3. Grades oder höher, stehen eine Reihe von Verfahren zur Auswahl. Wir prüfen in der Checkliste nach der angegebenen Reihenfolge, welches Verfahren passt. Je weiter wir in der Checkliste nach unten kommen, desto komplizierte wird die Berechnung. Wenn es geht, sollte man eines der ersteren Verfahren wählen.

• Liegt das Element \(a_0\) nicht vor, also haben wir eine Summe von \(x\)-Termen, so wählen wir das Verfahren Ausklammern bei Polynomen.
• Ist die Funktion eine biquadratische (oder triquadratische) Gleichung, so wählen wir das Verfahren Substitution.
• Können wir einen Linearfaktor abspalten, so können wir die Polynomdivision oder das Horner-Schema nehmen.
• Können wir keines dieser Verfahren anwenden, so wählen wir ein Näherungsverfahren, also das Newton-Verfahren oder Regula falsi. Die beiden Näherungsverfahren passen auch bei zusammengesetzten Funktionen.