Fläche


\(\\\)

Aufgabe 1 Fläche halbieren

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Gesucht ist ein \(x\)-Wert mit \(x=z\), so dass die Fläche unter \(f\) von 0 bis \(z\) halb so groß ist wie die Fläche von 0 bis 240. Das wird folgendermaßen ausgedrückt:

\( \quad \displaystyle{\int_0^z f(x)dx = \frac{1}{2} \cdot \int_0^{240} f(x)dx} \)

\(\\\)

Häufig stößt man beim Lösen von Gleichungen mit Integralen auf Schwierigkeiten.

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\(\\\)

In diesem Fall definieren wir das Integral zunächst als Stammfunktion \(F(x)\) und lösen die Gleichung damit.

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\(\\\)

Da \(0 \leq z \leq 240\) sein muss, lautet die gesuchte Gerade

\( \quad x = 135{,}4607712 \)

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 Funktionswert d(u)

Wir definieren \(d(x)\)

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\(\\\)

und berechnen \(u\).

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\(\\\)

Nach der Voraussetzung \(0 < u \leq 240\) ist

\( \quad u = 210{,}6267593 \)

\(\\\)

Es folgt der Funktionswert mit

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\(\\[2em]\)

Aufgabe 3 Dreieck

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\( \quad d(x)= \frac{1}{2} \cdot x \cdot f(x) \)

\(\\\)

beschreibt die Fläche eines Dreiecks nach der Flächenformel

\( \quad A = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h \)

\(\\\)

mit dem Punkt \(C_x\) auf dem Graphen von \(f\), mit dem Punkt \(B_x\) bei gleichem \(x\)-Wert auf der \(x\)-Achse gelegen und \(A\) im Koordinatenursprung. Dann ist \(x\) die Grundseite und \(f(x)\) die Höhe des Dreiecks.

\(\\\) Um jetzt weiter \(d(u)\) zu beschreiben, berechnen wir die 2. Ableitung von \(d(u)=d(210{,}6267593)\).

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\(\\\) \(d''(u)<0\) und damit ist \(d(x)\) maximal an der Stelle

\( \quad x = u = 210{,}6267593 \)

\(\\\)

\(d(u)\) gibt also die größtmögliche Dreiecksfläche für eine Dreieck an, dass mit \(d(x)\) gebildet wird für \(0 < x \leq 240\).

\(\\\)