HMF 2 - Lösung
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Schnittpunkt S
Um den Schnittpunkt \(S\) zu berechnen, setzen wir die Gerade \(g\)
\( \quad \begin{array}{ c l l } \vec{x} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[6pt] \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[6pt] \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2r\\ 2 + 4r \\ r \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[10pt] \begin{array}{r} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{array} & \begin{array}{r} = \\ = \\ = \\ \end{array} & \begin{array}{r} 2r \\ 2 + 4r \\ r \\ \end{array} \\[6pt] \end{array} \)
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in die Ebene
\( \quad E: x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 2 \)
\(\\\)
ein:
\( \quad \begin{array}{ r c r l } 2r + 2 \cdot (2 + 4r) - 2r & = & 2 & \\[6pt] 2r + 4 + 8r - 2r & = & 2 & |-4 \\[6pt] 8r & = & -2 & | : 8 \\[6pt] r & = & -\frac{1}{4} & \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1} \)
\(\\\)
Um Punkt \(S\) zu erhalten, setzen wir \(r\) in \(g\) ein:
\( \quad \begin{array}{ r c l } \vec{x} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \frac{1}{4} \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[6pt] & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} \frac{2}{4} \\ \frac{4}{4} \\ \frac{1}{4} \end{array} \right) \end{smallmatrix} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -\frac{1}{2} \\ 1 \\ -\frac{1}{4} \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{array} \)
\(\\\)
\( \quad \Rightarrow \quad \displaystyle{S} \; \left(-\tfrac{1}{2} \, \Bigl| 1 \,\Bigl| -\tfrac{1}{4} \right)\)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Punkte einzeichnen
Den Punkt \(P_1\) erhalten wir, indem wir uns vom Schnittpunkt \(S\) aus mit dem Vektor \(\vec{SP_1}\) weiter bewegen, wie auf der Abbildung zu sehen ist.
\(\\\) Um den Punkt \(P_2\) zu erhalten, formen wir die Gleichung
\( \quad \vec{p_2} = \vec{p_1} - 4 \cdot {SP_1} \)
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etwas um.
\( \quad \begin{array}{ r c l } \vec{p_2} & = & \vec{p_1} - 4 \cdot \vec{SP_1} \\[6pt] \vec{p_2} & = & \vec{p_1} - (\vec{SP_1}+\vec{SP_1}+\vec{SP_1}+\vec{SP_1}) \\[6pt] \vec{p_2} & = & \vec{p_1} - \vec{SP_1}- \vec{SP_1}- \vec{SP_1}- \vec{SP_1} \\ \end{array} \)
Mit dem Gegenvektor
\( \quad \vec{P_1S} = -\vec{SP_1} \)
erhalten wir den Ausdruck
\( \quad \begin{array}{ r c l } \vec{p_2} & = & \vec{p_1} + \vec{P_1S}+ \vec{P_1S}+ \vec{P_1S}+ \vec{P_1S} \\[6pt] \vec{p_2} & = & \vec{p_1} + 4 \cdot \vec{P_1S} \\ \end{array} \)
wie in dieser Abbildung zu sehen ist.
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