HMF 7 - Lösung
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Gerade g
Wir berechnen die Schnittpunkte der Funktion \(f\) und der Funktion \(g\) mit
\( \quad \begin{array}{ r c c l } -3 & = & 1 -\frac{1}{x^2} & | \; -1 \\[8pt] -4 & = & -\frac{1}{x^2} &| \cdot \left(-x^2 \right) \\[8pt] 4x^2 & = & 1 & | \; : 4 \\[8pt] x^2 & = & \frac{1}{4} & | \; \sqrt{\dots} \\[8pt] x_1 & = & -\frac{1}{2} & \\[8pt] x_2 & = & \frac{1}{2} & \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Fläche
Wir unterteilen die Fläche in 3 Teilflächen, wobei die mittlere Fläche ein einfaches Rechteck ist und die beiden äußeren Flächen gleich groß sind, denn \(f\) ist eine gebrochen-rationale Funktion, die achsensymmetrisch ist.
\( \begin{array}{ r c l } \textrm{A} & = & 3 \cdot 1 + 2 \cdot \Biggl| \displaystyle{\int}_{0{,}5}^1\left( 1- \tfrac{1}{x^2} \right)dx \Biggl| \\[8pt] & = & 3 + 2 \cdot \Biggl| \displaystyle{\int}_{0{,}5}^1\left(1- x^{-2}\right)dx \Biggl| \\[8pt] & = & 3 + 2 \cdot \Biggl|\bigg[ x + x^{-1} \bigg]_{0{,}5}^1 \Biggl| \\[8pt] & = & 3 + 2 \cdot \Biggl|\bigg[x + \frac{1}{x} \bigg]_{0{,}5}^1 \Biggl| \\[8pt] &= & 3 + 2 \cdot \Biggl|\left(1 + \frac{1}{1}\right)-\left(0{,}5 + \frac{1}{0{,}5}\right)\Biggl| \\[8pt] & = & 3 + 2 \cdot \Biggl|(1 + 1)-\left(0{,}5 + \frac{2}{1}\right)\Biggl| \\[8pt] & = & 3 + 2 \cdot \Bigl| 2 - 2{,}5\Bigl| \\[8pt] & = & 3 + 2 \cdot \Bigl| -0{,}5 \Bigl| \\[8pt] & = & 3 + 1 \\[8pt] & = & 4 \\ \end{array} \)
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