Extrempunkte der Schar
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Ortsgerade der Extrempunkte
Eine Gerade, auf der alle Extrempunkte einer Funktionenschar liegen, nennt man die Ortsgerade der Extrempunkte. Wie wird diese nun ermittelt? Zunächst benötigen wir die Extrempunkte.
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Extrempunkte
Wir definieren die Funktion und nennen sie \(h\).
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Es gilt die notwendige Bedingung: \(h'(x) =0\)
Wir definieren die erste Ableitung
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und berechnen die Gleichung.
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Mit
\( \quad x_1 \; = \; -\frac{1}{\sqrt{a}} \quad \textit{und} \quad x_2 \; = \; \frac{1}{\sqrt{a}} \)
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existieren nur Extrempunkte mit der Voraussetzung \(a > 0\), denn der Wurzelinhalt muss größer gleich Null sein und der Nenner darf nicht Null ergeben.
Weiter gilt die hinreichende Bedingung: \(h''(x) \not= 0\)
Wir bilden die zweite Ableitung
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und überprüfen die Lösungen.
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Es folgt
\( \quad \begin{array}{ r c r c c c l } h''(x_1) & = & 2 \cdot \sqrt{a} & > & 0 & \quad \Rightarrow & \textit{Tiefpunkt} \\[8pt] h''(x_2) & = & -2 \cdot \sqrt{a} & < & 0 & \quad \Rightarrow & \textit{Hochpunkt} \\ \end{array} \)
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Mit den Funktionswerten
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ergeben sie die Tiefpunkte \(\left(-\frac{1}{\sqrt{a}} \Bigl| -\frac{1}{\sqrt{a}} \right)\) und die Hochpunkte \(\left(\frac{1}{\sqrt{a}} \Bigl| \frac{1}{\sqrt{a}} \right)\) der Schar.
\(\\[1em]\)
Ortsgerade
Mit den Hochpunkten der Schar ist
\( \quad \begin{array}{ r c r c l } \textrm{I} && x & = & \frac{1}{\sqrt{a}} \\[8pt] \textrm{II} && y & = & \frac{1}{\sqrt{a}} \\ \end{array} \)
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Zur Bestimmung der Ortsgeraden wird nun folgendermaßen vorgegangen:
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\(x\) nach \(a\) auflösen:
\( \quad \begin{array}{ r c l l } x & = & \frac{1}{\sqrt{a}} & \bigl| \, \cdot \sqrt{a} \\[6pt] \sqrt{a} \cdot x & = & 1 & \bigl| \, : x \\[6pt] \sqrt{a} & = & \frac{1}{x} & \bigl| \, (\dots)^2 \\[6pt] a & = & \frac{1}{x^2} & \\ \end{array} \)
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\(a\) in \(y\) einsetzen:
\( \quad \begin{array}{ r c l } y & = & \dfrac{1}{\frac{1}{\sqrt{x^2}}} \\[8pt] y & = & \dfrac{1}{\frac{1}{x}} \\[8pt] y & = & 1 : \frac{1}{x} \quad \text{Bruchrechenregel anwenden!} \\[8pt] y & = & 1 \cdot\frac{x}{1} \\[6pt] y & = & x \\ \end{array} \)
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Verwenden wir statt den Koordinaten der Hochpunkte die der Tiefpunkte, so führt dies zum gleichen Ergebnis.
Die Gleichung
\( \quad y \; = \; x \)
ist die Ursprungsgerade mit der Steigung \(m=1\).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Viereck mit Flächeninhalt von 144
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Das eingezeichnete Viereck stellt ein gedrehtes Trapez
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dar. Für Trapeze gilt die Flächenformel
\( \quad A = \dfrac{a + c}{2} \cdot h \)
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Wie aus der voherigen Aufgabe hervorgeht, liegen alle Hochpunkte bei \(\left(\frac{1}{\sqrt{a}} \Bigl| \frac{1}{\sqrt{a}}\right)\). Daraus ergeben sich folgende Werte für die Trapezformel:
\( \quad \begin{array}{ r c c } a & = & \frac{1}{\sqrt{a}} \\[8pt] c & = & 2 \\[6pt] h & = & \frac{1}{\sqrt{a}} \\ \end{array} \)
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Eingesetzt in die Formel ergibt sich nun folgende Gleichung:
\( \quad 144 = \dfrac{\frac{1}{\sqrt{a}} + 2}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{a}} \)
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Wir lösen die Gleichung mit dem CAS.
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