Punkt L
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – parallel zur Achse
Der Richtungsvektor \(\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix}\) zeigt in Richtung der \(x_1\)-Achse. Damit muss die Gerade \(g\) parallel zu dieser Achse sein.
Wir überprüfen, ob die Gerade durch den Punkt \(L\) verläuft, indem wir eine Punktprobe machen.
\( \quad \begin{array}{ c c l l l } \vec{l} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ -12 \\ 9 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & & \\[8pt] \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -\frac{25}{4} \\ -8 \; \\ 6 \; \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r} 0 \\ -12 \\ 9 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & & \\ \end{array} \)
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Daraus ergibt sich das Gleichungssystem
\( \quad \begin{array}{ r r c r l } \textrm{I} & -\frac{25}{4} & = & r \\[6pt] \textrm{II} & - 8 \; & = & - 12 & \quad \Rightarrow \quad \textrm{Widerspruch} \\[6pt] \textrm{III} & 6 \; & = & 9 & \quad \Rightarrow \quad \textrm{Widerspruch} \\ \end{array} \)
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\(L\) liegt also nicht auf der Geraden \(g\).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Ebene E
Der Richtungsvektor der Geraden \(g\) und der Vektor \(\vec{RL}\) spannen die Ebene \(E\) auf. Mit den Vektoren und dem Punkt \(R\) stellen wir die Normalenform
\( \quad \left(\vec{x} - \vec{r}\right) \circ \vec{n} = 0 \)
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mit dem Vektor
\( \quad \vec{RL} = \vec{l} - \vec{r} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -\frac{25}{4} \\ -8 \; \\ 6 \; \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ -12 \\ 9 \end{array} \right) \end{smallmatrix} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -\frac{25}{4} \\ 4 \; \\ -3 \; \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
\(\\\) auf.
Den Normalenvektor bilden wir mit dem Kreuzprodukt
\( \quad \vec{n} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -\frac{25}{4} \\ 4 \; \\ -3 \; \end{array} \right) \end{smallmatrix} \times \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
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Dabei gehen wir folgendermaßen vor:
Die beiden Richtungsvektoren werden paarweise 2-mal untereinander geschrieben. Die erste und die letzte Zeile werden gestrichen. Dann wird über Kreuz multipliziert und jeweils die blaue Diagonale (Hauptdiagonale) minus die rote Diagonale (Nebendiagonale) gerechnet.
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Der Normalenvektor lautet \( \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ -3 \\ -4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\ \)
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Daraus ergibt sich die Normalenform
\( \quad \left[ \vec{x} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ -12 \\ 9 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right] \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ -3 \\ -4 \end{array} \right)\end{smallmatrix} = 0 \)
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Um weiter in die Koordinatenform zu kommen, lösen wir das Skalarprodukt auf.
\( \quad \begin{array}{ r c l l } \left[ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ -12 \\ 9 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right] \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ -3 \\ -4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & 0 & \\[8pt] \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{l} x_1 \\ x_2 + 12 \\ x_3 - 9 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ -3 \\ -4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & 0 & \\ \end{array} \)
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\( \quad \begin{array}{ r c r l } x_1 \cdot 0 + (x_2 + 12) \cdot (-3) + (x_3 - 9) \cdot (-4) & = & 0 & \\[6pt] -3x_2 - 36 - 4x_3 + 36 & = & 0 \\[6pt] -3x_2 - 4x_3 & = & 0 & | \cdot (-1) \\[6pt] 3x_2 + 4x_3 & = & 0 \\ \end{array} \)
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