Geraden
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
Geradengleichung
Die Geradengleichung beinhaltet die Steigung und einen Punkt, durch den sie verläuft. Als Punkt wird der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse gewählt, der den Achsenabschnitt festlegt.
\(\quad\)
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Die Steigung \(m\) wird berechnet mit
\( \quad f(x) \; = \; \frac{y-\textit{Differenz}}{x-\textit{Differenz}} \; = \; \frac{\Delta y}{\Delta x} \; = \; \frac{3}{5} \)
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Mit dem Achsenabschnitt \(b\) , hin und wieder auch als \(c\) oder \(n\) bezeichnet, wird die allgemeine Geradengleichung in der Form
\( \quad \boxed{f(x) \, = \, mx + b} \)
\(\\\)
geschrieben. Wir erhalten somit die Funktionsvorschrift für die Funktion \(f\) mit
\( \quad f(x) \, = \, \frac{3}{5}x + 2 \)
\(\\[2em]\)
Steigung
Steigung einer Geraden
Zurück zu der Steigung. Wie können wir nun \(\Delta\)x und \(\Delta\)y berechnen? In der Graphik haben wir die beiden Punkte \(P_1 ( 2 | 3{,}2 )\) und \(P_2 ( 7 | 6{,}2 )\).
\(\quad\)
\(\\\)
Wir ziehen also die \(x\)-Werte und die \(y\)-Werte der Punkte voneinander ab.
Allgemein sieht es so aus:
\(\quad\)
\(\\\)
Mit der obigen Formel für m erhalten wir die allgemeine Steigungsformel
\( \quad \boxed{m \, = \, \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}} \)
\(\\[1em]\)
Steigung einer orthogonalen Geraden
Die Steigung einer Geraden \(g\) , die orthogal, also im \(90^{\circ}\)-Winkel zu der Geraden \(f\) liegt, wird mit
\( \quad m_g \, = \, -\frac{1}{m_f} \)
\(\\\)
berechnet.
\( \quad \begin{array}{ r c l l } m_g & = & -\frac{1}{\frac{3}{5}} & \\[5pt] m_g & = & -1:\frac{3}{5} & \quad \Rightarrow \; mit \; Kehrwert \; multiplizieren \\[5pt] m_g & = & -1 \cdot \frac{5}{3} & \\[5pt] m_g & = & -\frac{5}{3} & \\ \end{array} \)
\(\\\)
Bildlich dargestellt:
\(\quad\)
\(\\\)
Hierbei ist zu beachten, dass wir vom Punkt A nach Punkt B laufen. Das heißt, dass wir 5 Einheiten nach unten laufen mit -5 und 3 Einheiten nach rechts laufen mit +3.
Die Steigung von \(g\) ist also der negative Kehrwert der Steigung von \(f\).
\(\\[2em]\)
Steigungswinkel
Steigungswinkel einer Geraden
\(\quad\)
\(\\\)
Mit dem Tangens gilt im Steigungsdreieck
\( \quad tan(\alpha) \, = \, \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{3}{5} \)
\(\\\)
Ebenfalls ist
\( \quad m \, = \, \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3}{5} \)
\(\\\)
Daraus folgt
\( \quad tan(\alpha) \, = \, m \quad \Leftrightarrow \quad \alpha = tan^{-1}(m) \)
\(\\\)
Der Winkel beträgt damit
\( \quad \begin{array}{ *{5}{l} } \alpha & = & tan^{-1}\left(\frac{3}{5} \right) & = & 31^{\circ} \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
Winkel zwischen 2 Geraden
Ein von 2 Geraden eingeschlossener Winkel \(\gamma\) wird berechnet,
\(\quad\)
\(\\\)
indem wir vom Winkel \(\beta\) den \(\alpha\) abziehen.
Im dargestellten Beispiel liegen nun die Geraden \(f\) und \(g\) mit
\( \quad f(x) \, = \, \frac{3}{5}x + 2 \quad \textrm{und} \quad g(x) = \frac{8}{5}x \)
\(\\\)
vor. Es ergibt sich \(\gamma\) mit
\( \quad \begin{array}{ *{3}{l} } \gamma & = & \beta - \alpha \\[5pt] & = & tan^{-1}\left(m_g \right) - tan^{-1}\left(m_f \right) \\[5pt] & = & tan^{-1}\left(\frac{8}{5} \right) - tan^{-1}\left(\frac{3}{5} \right) \\[5pt] & = & 58^{\circ} - 31^{\circ} \\[5pt] & = & 27^{\circ} \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Nullstelle einer Geraden
Den Schnittpunkt mit der x-Achse bezeichnet man als die Nullstelle der Geraden.
\(\quad\)
\(\\\)
Für alle Nullstellen gilt, das der y-Wert gleich Null ist.
\( \quad Bedingung: \; f(x) = 0 \)
\(\\\)
Wir berechnen die Nullstelle der Funktion
\( \quad f(x) = \frac{3}{5}x + 2 \)
\(\\\)
mit
\( \quad \begin{array}{ r c l l } f(x) & = & 0 & \\[5pt] \frac{3}{5}x + 2 & = & 0 & | -2 \\[5pt] \frac{3}{5}x & = & -2 & | : \frac{3}{5} \\[5pt] x & = & -\frac{10}{3} & \\[5pt] x & \approx & -3{,}3 & \\ \end{array} \)
\(\\\)
Die Nullstelle liegt bei \(N(-3{,}3 | 0)\).
\(\\[1em]\)