Küstenlinie
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – nördlichster Punkt
Für den nördlichsten Punkt der Küstenlinie berechnen wir den Hochpunkt von \(f\).
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notwendige Bedingung
Es gilt \(f'(x)=0\)
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Funktion \(f\) ist von der Form
\( \quad f(x) \; = \; 5x \cdot e^{-x} + 1 \; = \; u(x) \cdot v(x) + 1 \)
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Mit der Produkt- und Kettenregel (die 1 fällt beim Ableiten weg) gilt
\( \quad \begin{array}{ c l } f'(x) & = \; u' \cdot v \; + \; u \cdot v' \\[20pt] & \textit{Nebenrechnung 1 } \\[6pt] & u \; = \; 5x \\[6pt] & u' \; = \; 5 \\[6pt] & v \; = \; e^{-x} \; = \; g\Big(h(x)\Big) \\[20pt] & \; \qquad \textit{Nebenrechnung 2 } \\[6pt] & \; \qquad h(x) \; = \; - x \\[6pt] & \; \qquad h'(x) \; = \; - 1 \\[6pt] & \; \qquad g(x) \; = \; e^x \\[6pt] & \; \qquad g'(x) \; = \; e^x \\[6pt] & \; \qquad g'\Big(h(x)\Big) \; = \; e^{-x} \\[20pt] & v' \; = \; h'(x) \cdot g'\Big(h(x)\Big) \; = \; - 1 \cdot e^{-x} \; = \; - e^{-x} \\[20pt] f'(x) & = \; 5 \cdot e^{-x} + 5x \cdot \left( - e^{-x}\right) \\[6pt] f'(x) & = \; 5 \cdot e^{-x} - 5x \cdot e^{-x} \\[6pt] f'(x) & = \; (5 - 5x) \cdot e^{-x} \\[6pt] f'(x) & = \; 5 (1 - x) \cdot e^{-x} \\ \end{array} \)
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Nach der Bedingung gilt
\( \quad 0 \; = \; 5 (1 - x) \cdot e^{-x} \)
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Mit der Regel des Nullprodukts ist
\( \quad \left. \begin{array}{ r c l l } 0 & = & 1 - x & | + x \\[6pt] x & = & 1 \\ \end{array} \quad \right\} \; \textrm{mit} \; 5 \, \not= \, 0 \quad \textrm{und} \quad e^{-x} \, \not= \, 0 \)
\(\\[1em]\)
hinreichende Bedingung
Mit der 2. Ableitung überprüfen wir die Lösung \(x=1\). Wir gehen von
\( \quad f'(x) \; = \; (5 - 5x) \cdot e^{-x} \)
\(\\\) aus.
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\( \quad \begin{array}{ c l } f''(x) & = \; u' \cdot v \; + \; u \cdot v' \\[20pt] & \textit{Nebenrechnung} \\[6pt] &u \; = \; 5 - 5x \\[6pt] & u' \; = \; - 5 \\[6pt] & v \; = \; e^{-x} \\[6pt] & v' \; = \; - e^{-x} \quad \textrm{(siehe oben)} \\[20pt] f''(x) & = \; - 5 \cdot e^{-x} + (5 - 5x) \cdot \left( - e^{-x}\right) \\[6pt] f''(x) & = \; - 5 \cdot e^{-x} + (- 5 + 5x) \cdot e^{-x} \\[6pt] f''(x) & = \; (- 5 - 5 + 5x) \cdot e^{-x} \\[6pt] f''(x) & = \; (- 10 + 5x) \cdot e^{-x} \\[20pt] f''(1) & = \; (- 10 + 5 \cdot 1) \cdot e^{-1} \\[6pt] f''(1) & = \; (- 5) \cdot e^{-1} \; = \; - \frac{5}{e} \; < \; 0 \quad \Rightarrow \quad \textrm{Hochpunkt} \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
Funktionswert
\( \quad \begin{array}{ r c l } f(1) & = & 5 \cdot 1 \cdot e^{-1} + 1 \\[6pt] & = & \frac{5}{e} + 1 \\[6pt] & \approx & 2{,}8394 \\ \end{array} \)
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Der nördlichste Punkt der Küstenlinie ist der lokale Hochpunkt \(H(1 | 2{,}8394)\)der Funktion \(f\). Da keine anderen Extrempunkte existieren, ist die Funktion für \(x<1\) monoton steigend und für \(x>1\) monoton fallend. Damit sind höher gelegene Punkt ausgeschlossen.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – zweite Ableitung = Null
Es gilt \(f''(x) = 0\) mit
\( \quad \begin{array}{ r c l } f''(x) & = & (- 10 + 5x) \cdot e^{-x} \\[6pt] f''(x) & = & 5 \cdot (x - 2) \cdot e^{-x} \\ \end{array} \)
\(\\\)
Wir wenden wieder die Regel des Nullprodukts an.
\( \quad \left. \begin{array}{ r c l l } x - 2 &= & 0 &| \; + 2 \\[6pt] x & = & 2 \\ \end{array} \quad \right\} \; \textrm{mit} \; 5 \, \not= \, 0 \quad \textrm{und} \quad e^{-x} \, \not= \, 0 \)
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Bei \(x=2\) ist die Krümmung des Graphen gleich Null. Sofern die \(f'''(2) \not= 0\) ist, befindet sich bei \(x=2\) ein Wendepunkt, was hier aber nicht nachgewiesen werden soll.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – mittlerer Abstand der Küstenlinie zur Straße
Wie ermitteln wir nun den durchschnittlichen Abstand?
Es gibt ein flächeninhaltsgleiches Rechteck zu der Fläche zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse,
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dessen Breite identisch ist mit dem Abstand der Grenzen des Integrals. Dann muss die Höhe des Rechtecks den mittleren Abstand angeben. Durch Auflösen nach dieser Höhe \(\overline{m}\) erhalten wir die allgemeine Gleichung des Mittelwertes.
\( \quad \overline{m} \; = \; \frac{1}{b-a}\displaystyle{\int}_a^b f(x) dx \)
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Einsetzen in die Formel:
\( \quad \begin{array}{ r c l } \overline{m} & = & \frac{1}{8-0}\displaystyle{\int}_0^8 \left(5x \cdot e^{-x} + 1 \right) dx \\[8pt] & = & 1{,}62 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Der mittlere Abstand der Küstenlinie zur Straße beträgt also \(162 \; m\) .
\(\\[2em]\)
Aufgabe 4 – Stammfunktion
\( \quad F(x) \; = \; \displaystyle{\int} \left(5x \cdot e^{-x} + 1 \right) dx + C \)
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Produkte von zwei \(x\)-Termen lassen sich nicht ohne Weiteres aufleiten. Mithilfe der partiellen Integration kann ein \(x\)-Term beseitigt werden. Es gilt die Umformung
\( \quad \displaystyle{\int} u(x) \cdot v'(x) dx \; = \; u(x) \cdot v(x) - \displaystyle{\int} u'(x) \cdot v(x) dx \)
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Der Grundgedanke ist nun, einen \(x\)-Term durch Ableiten zu beseitigen. Bei einem Produkt aus einem ganzrationalen Teil und einem Teil einer \(e\)-Funktion wird der ganzrationale Teil solange abgeleitet, bis er kein \(x\) mehr enthält. Bei der \(e\)-Funktion ist dies nicht möglich.
\(\\\) Das heißt, dass als \(u(x)\) der ganzrationale Teil gewählt wird.
\( \quad \begin{array}{ l l } \displaystyle{\int} 5x \cdot e^{-x} dx + C \\[20pt] \begin{array}{ l l } u \; = \; 5x & \qquad u' \; = \; 5 \\[6pt] v \; = \; - e^{-x} & \qquad v' \; = \; e^{-x} \end{array} \\[20pt] \begin{array}{ l l } \displaystyle{\int} 5x \cdot e^{-x} dx + C & = \; 5x \cdot \left(- e^{-x}\right) - \displaystyle{\int} 5 \cdot \left(- e^{-x}\right) dx + C \\[8pt] & = \; - 5x \cdot e^{-x} - \displaystyle{\int} \left(- 5 \cdot e^{-x}\right) dx + C \\[8pt] & = \; - 5x \cdot e^{-x} + 5 \displaystyle{\int} e^{-x} dx + C \\[8pt] & = \; - 5x \cdot e^{-x} + 5 \cdot \left(- e^{-x} \right) + C \\[6pt] & = \; - 5x \cdot e^{-x} - 5 \cdot e^{-x} + C \\[8pt] & = \; - 5(x + 1) \cdot e^{-x} + C \\ \end{array} \end{array} \)
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Für die ganze Stammfunktion gilt dann
\( \quad \begin{array}{ r c l } \displaystyle{\int} \left(5x \cdot e^{-x} + 1 \right) dx + C & = & - 5(x + 1) \cdot e^{-x} + x + C \\[8pt] & = & x - \frac{5(x + 1)}{e^x} + C \\ \end{array} \)
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