Aufgaben

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“Kletterhalle”

Ein Sportler trainiert in einer Kletterhalle. Die Situation wird in einem geeigneten Koordinatensystem modelliert, wobei eine Längeneinheit einem Meter in der Realität entspricht.

Die \(x_1x_2\)-Ebene stellt den Hallenboden dar. Der Kletterer steht zunächst auf dem Startpunkt \((0|0|0)\). Er klettert an der Wand \(PQRS\) hoch, greift von dort auf die Wand \(RSTU\) über und hangelt sich an ihr nach vorne bis zur Kante \(\overline{TU}\).

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Die ebenen Vierecke \(PQRS\) und \(RSTU\) haben die Eckpunkte \(P(0|-2|0)\), \(Q(-2|0|0)\), \(R(-1|2|4)\), \(S(1|0|4)\), \(T(2|3|4{,}5)\) und \(U(0|5|4{,}5)\).

Das Viereck \(PQRS\) liegt in der Ebene \(E\).

\(\\[1em]\)

Viereck PQRS

1. Berechnen Sie die Länge der Kante \(\overline{PQ}\).

   (2 P)

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2. Zeigen Sie, dass das Viereck \(PQRS\) ein Parallelogramm, aber kein Rechteck ist.

   (5 P)

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3. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Koordinatenform.

\( \qquad \big[\textrm{Kontrolle:} \quad E: \; 4 x_1 + 4 x_2 - 3 x_3 \; = \; -8 \big] \)

(4 P)

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4. Berechnen Sie den Schnittpunkt der Ebene \(E\) mit der \(x_3\)-Achse und geben Sie die Höhe der Wand senkrecht über dem Startpunkt an.

   (4 P)

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5. Untersuchen Sie, ob es in der Ebene \(E\) einen Punkt \((x_1|x_2|2)\) mit ganzzahligen Koordinaten \(x_1\) und \(x_2\) gibt.

   (3 P)

Lösung

\(\\[2em]\)

Glocke

In der Nähe der Kante \(\overline{TU}\) hängt bei \(G(3|3{,}5|4{,}5)\) eine Glocke, die mit einer Leine am Hallendach befestigt ist. Zum Abschluss seiner Trainingseinheit läutet der Kletterer diese Glocke mit einer Hand, während er sich mit der anderen Hand an demjenigen Punkt \(K\) auf der Kante \(\overline{TU}\) festhält, der den geringsten Abstand zu \(G\) hat.

Durch \(T\) und \(U\) verläuft die Gerade

\( \begin{array}{ c c l l l } g: \; \vec{x} & = & \vec{OT} + r \cdot \vec{TU} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 4{,}5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\ \end{array} \)

\(\\[1em]\)

1. Bestimmen Sie den Fußpunkt \(F\) des Lotest von \(G\) auf \(g\).

\( \qquad \big[\textrm{Kontrolle:} \quad F(2{,}25|2{,}75|4{,}5) \big] \)

(5 P)

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2. Begründen Sie, dass \(K\) und \(F\) nicht identisch sind.

   (2 P)

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3. Künftig soll die Glocke an einem anderen Punkt \(G^*\) platziert werden. Der Punkt \(G^*\) befindet sich in einer Höhe von \(4{,}5 \, m\) und ist gleich weit von \(T\) und \(U\) entfernt; sein Abstand vom Mittelpunkt \(M\) der Kante \(\overline{TU}\) beträgt \(35 \, cm\).
   Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes \(M\) und die Koordinaten eines Punktes \(G^*\) mit den beschriebenen Eigenschaften.

   (5 P)

Lösung

\(\\[2em]\)

Ebene der oberen Kletterwand

Im Rahmen einer Renovierung wird darüber nachgedacht, den Winkel zwischen den beiden Wänden zu verändern. Für jedes \(\alpha \in \mathbb{R}\) ist durch

\( E_a \; : \; x_1+ x_2 - ax_3 = 1 - 4a \)

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eine Ebene \(E_a\) gegeben. Jede dieser Ebenen enthält die Gerade durch \(R\) und \(S\).

\(\\[1em]\)

1. Es gibt genau eine Zahl \(a\) mit \(E_a=E\). Bestimmen Sie diese Zahl.

   (3 P)

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2. \(E_8\) ist diejenige Ebene, in der das Viereck \(RSTU\) liegt. Berechnen Sie den Schnittwinkel der Ebenen \(E\) und \(E_8\).

   (3 P)

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3. Bestimmen Sie alle Zahlen \(a\), so dass sich \(E\) und \(E_8\) unter einem \(60^\circ\)-Winkel schneiden.

   (4 P)

Lösung

\(\\[2em]\)