Aufgaben
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
“Blauwal”
Modell eines Blauwals
Die folgende Abbildung zeigt den Längsschnitt durch das Modell eines Blauwals.Eine Längeneinheit beträgt 1 Meter in der Wirklichkeit.
\(\\[1em]\)
Die obere Begrenzung inklusive Flosse wird durch den Graphen der Funktion \(f\) mit
\( \quad f(x) \; = \; \frac{1}{25000} x^4 - \frac{3}{2500} x^3 - \frac{1}{200} x^2 + \frac{1}{2} x + 7 \)
\(\\\) im Intervall [0 ; 29] beschrieben.
Die untere Begrenzung wird im Intervall [0 ; 25] durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion \(g\) vierten Grades modelliert. Der Graph von \(g\) verläuft durch die Punkte \(A( 0 | 7)\), \(B \left( 10 | \frac{19}{4} \right)\) und \(C( 25 | 7)\). Seine Tangente an der Stelle \(x=7{,}5\) ist waagerecht. Im Punkt \(C\) erfolgt ein knickfreier Anschluss an den Graphen von \(f\).
\(\\\)
- Bestimmen Sie einen Funktionsterm von \(g\).
\( \qquad \Big[\textrm{Zur Kontrolle: } \; g(x) \; = \; \frac{1}{50000} x^4 - \frac{11}{5000} x^3 + \frac{29}{400} x^2 - \frac{3}{4} x + 7 \Big]\)
(7 P)
\(\\\)
- Für jedes \(x\) aus dem Intervall [0 ; 25] wird die Dicke des Längsschnitts durch die Differenz der Funktionswerte von \(f\) und \(g\) an dieser Stelle \(x\) beschrieben.
Berechnen Sie die maximale Dicke des Längsschnitts.(6 P)
\(\\[2em]\)
Wachstum eines Blauwals
Ein Blauwal ist bei der Geburt \(6 \; m\) lang. Seine Wachstumsrate wird modelliert durch die Funktion \(w\) mit
\( \quad w(x) \; = \; \frac{120 \cdot e^{0{,}9(x-5)}}{\left(e^{0{,}9(x-5)} + 6 \right)^2} \)
\(\\\) Dabei steht \(x\) für die Zeit in Jahren seit der Geburt und \(w(x)\) für den Längenzuwachs in Meter pro Jahr.
\(\\[1em]\)
- Ermitteln Sie die Körperlänge des Blauwals nacht acht Jahren.
(2 P)
\(\\\)
- Zeigen Sie, dass ein Blauwal, dessen Wachstumsrate durch die Funktion \(w\) modelliert wird, immer weiter wachsen würde, aber eine Körperlänge von \(29 \; m\) nie erreichen könnte.
(4 P)
\(\\\)
- Ein Blauwal ist nach diesem Modell ausgewachsen, wenn er eine Körperlänge von \(27{,}6 \; m\) erreicht hat.
Bestimmen Sie das Alter, ab dem der Blauwal ausgewachsen ist.
(3 P)
\(\\[2em]\)
Funktionenschar
Die Funktion \(w\) ist in der Schar \(w_k\) mit
\( \quad w_k(x) \; = \; \frac{120 \cdot e^{k \cdot (x-5)}}{\left(e^{k \cdot (x-5)} + 6 \right)^2} \)
\(\\\) mit \(k>0\) enthalten. Die folgendeAbbildung zeigt die Graphen von \(w_1\), \(w_{\frac{1}{2}}\) und \(w_{\frac{1}{3}}\).
\(\\\)
- Beschreiben Sie anhand der dargestellten Graphen den Einfluss des Parameters \(k\) auf die Koordinaten des Hochpunktes und auf den \(y\)-Achsenabschnitt.
(3 P)
\(\\\)
- Zeigen Sie, dass der Hochpunkt \(P\left(5 | \frac{120}{49}\right)\) für alle \(k>0\) auf dem Graphen von \(w_k\) liegt.
Weisen Sie nach, das \(P\) für kein \(k>0\) ein Wendepunkt sein kann.
(5 P)
\(\\\)
- Zeigen Sie rechnerisch, dass alle Hochpunkte der Graphen von \(w_k\) auf einer Geraden liegen.
Bestimmen Sie einen Wert für \(k\), so dass \(w_k\) an der Stelle \(x=6\) ein lokales Maximum annimmt.
(6 P)
\(\\\)
- Jeder Graph der Funktionsschar \(w_k\) ist symmetrisch zu einer Parallelen zur \(y\)-Achse durch den Punkt \(Q\left(5 + \frac{ln(6)}{k} | 0\right)\). Der Punkt \(P\left(5 | \frac{120}{49}\right)\) besitzt somit auf jedem Funktionsgraphen einen Spiegelpunkt \(P_k'\). Die Punkte \(P'\), \(Q_k\) und \(P_k'\) bilden die Eckpunkte eines Dreiecks.
Bestimmen Sie den Parameter \(k\) so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks genau \(1\) beträgt.
(4 P)
\(\\[2em]\)