HMF 2 - Lösung
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Summe 4
Um das Ergebnis \(4\) zu bekommen, muss eine \(1\) und \(3\) bzw. eine \(2\) und \(2\) gewürfelt werden. Die Wahrscheinlichkeiten dafür entnehmen wir dem Baumdiagramm.
\(\quad\)
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Die Wahrscheinlichkeit die Summe \(4\) zu erhalten, liegt bei
\( \quad P(4) \; = \; \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \; + \; \frac{4}{6} \cdot \frac{4}{6} \; + \; \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \; = \; \frac{18}{36} \; = \; \frac{1}{2} \; = \; 50\% \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Erwartungswert 4
Für den Erwartungswert gilt
\( \quad \begin{array}{ r c l } E(x) & = & \displaystyle{\sum_{i=1}^n} x_i \cdot P(x=x_i) \\[6pt] & = & x_1 \cdot P(x=x_1) \; + \; x_2 \cdot P(x=x_2) \; + \; x_3 \cdot P(x=x_3) \\ \end{array} \)
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Unveränderte Werte:
\( \quad \begin{array}{ r c r c l } \textrm{I} & & x_1 & = & 2 \\[6pt] \textrm{II} & & P(x=x_1) & = & \frac{4}{6} \\[6pt] \textrm{III} & & P(x=x_2) & = & \frac{1}{6} \\[6pt] \textrm{IV} & & P(x=x_3) & = & \frac{1}{6} \\ \end{array} \)
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Vorgaben laut Aufgabenstellung:
\( \quad \begin{array}{ r c r c l } \textrm{V} & & E(x) & = & 4 \\[6pt] \textrm{VI} & & x_3 & = & 3 \cdot x_2 \\ \end{array} \)
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Alles in die obige Formel eingesetzt ergibt :
\( \quad \begin{array}{ r c l l} 2 \cdot \frac{4}{6} \; + \; x_2 \cdot \frac{1}{6} \; + \; 3x_2 \cdot \frac{1}{6} & = & 4 & \\[6pt] \frac{8}{6} \; + \; x_2 \cdot \frac{1}{6} \; + \; x_2 \cdot \frac{3}{6} & = & 4 & | \cdot 6 \\[6pt] 8 \; + \; x_2 \; + \; 3x_2 & = & 24 & | - 8 \\[6pt] 4x_2 & = & 16 &| : 4 \\[6pt] x_2 & = & 4 & \\ \end{array} \)
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Eingesetzt in \(VI\) :
\( \quad x_3 \, = \, 3 \cdot 4 \, = \, 12 \)
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Die gesuchten Zahlen sind \(4\) und \(12\) .
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