Schar von g
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – g als eine Funktion der Schar
Ist \(g\) eine Funktion von \(g_k\), so kann das zugehörige \(k\) durch gleichsetzen der Funktionen ermittelt werden. Zunächst wird \(g_k\) definiert.
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Mit \(solve\) berechnen wir \(k\).
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Es existiert ein eindeutiges \(k\) mit \(k>0\). Damit ist \(g\) eine Funktion der Schar \(g_k\).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – größte Breite der Schar
Die größte Breite befindet sich dort, wo die Schar \(g_k\) ihren Hochpunkt hat. Es gilt \(g_k'(x)=0\). Wir definieren die 1. Ableitung und lösen die Gleichung.
\( \quad x = 0{,}5 \cdot k = \frac{k}{2} \)
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ist eine mögliche Extremstelle. Da nach Voraussetzung der Graph an der Stelle \(\frac{k}{2}\) rechtsgekrümmt sein muss, ist \(g_k'\left(\frac{k}{2}\right) < 0\). Damit liegt bei \(\frac{k}{2}\) ein Hochpunkt des Graphen vor.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Länge von 2,5 Meter
Nach dem Eingangstext gibt \(k\) die Länge des Funboards an. Demnach muss \(k=2{,}5\) sein. Die dazu gehörige Funktion nennen wir \(g25\).
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Das \(k=2{,}5\) wirklich der richtige Wert für \(k\) ist, können wir nachweisen, in dem wir die Nullstellen der Funktion berechnen.
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Das Funboard hat tatsächlich eine Länge von 2,5 Meter. Nach der vorigen Aufgabe ist bei
\( \quad \frac{k}{2} = \frac{2{,}5}{2} = 1{,}25 \)
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das Funboard am breitesten. Diese Breite ermitteln wir mit
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Das Funboard hat eine größte Breite von \(75 \, cm\).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 4 – stabile Lage im Wasser
Das Shortboard hat ein Verhältnis von
\( \quad \frac{0{,}5}{2} = 0{,}25 \)
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Für das Funboard ermitteln wir die Breite an der Stelle \(\frac{k}{2}\).
\( \quad \frac{0{,}3 \cdot k}{k} = 0{,}3 \)
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Damit liegen alle Funboards stabiler im Wasser als das Shortboard.
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