Schar von g


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Aufgabe 1 g als eine Funktion der Schar

Ist \(g\) eine Funktion von \(g_k\), so kann das zugehörige \(k\) durch gleichsetzen der Funktionen ermittelt werden. Zunächst wird \(g_k\) definiert.

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Mit \(solve\) berechnen wir \(k\).

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Es existiert ein eindeutiges \(k\) mit \(k>0\). Damit ist \(g\) eine Funktion der Schar \(g_k\).

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 größte Breite der Schar

Die größte Breite befindet sich dort, wo die Schar \(g_k\) ihren Hochpunkt hat. Es gilt \(g_k'(x)=0\). Wir definieren die 1. Ableitung und lösen die Gleichung.

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\( \quad x = 0{,}5 \cdot k = \frac{k}{2} \)

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ist eine mögliche Extremstelle. Da nach Voraussetzung der Graph an der Stelle \(\frac{k}{2}\) rechtsgekrümmt sein muss, ist \(g_k'\left(\frac{k}{2}\right) < 0\). Damit liegt bei \(\frac{k}{2}\) ein Hochpunkt des Graphen vor.

\(\\[2em]\)

Aufgabe 3 Länge von 2,5 Meter

Nach dem Eingangstext gibt \(k\) die Länge des Funboards an. Demnach muss \(k=2{,}5\) sein. Die dazu gehörige Funktion nennen wir \(g25\).

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Das \(k=2{,}5\) wirklich der richtige Wert für \(k\) ist, können wir nachweisen, in dem wir die Nullstellen der Funktion berechnen.

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Das Funboard hat tatsächlich eine Länge von 2,5 Meter. Nach der vorigen Aufgabe ist bei

\( \quad \frac{k}{2} = \frac{2{,}5}{2} = 1{,}25 \)

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das Funboard am breitesten. Diese Breite ermitteln wir mit

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Das Funboard hat eine größte Breite von \(75 \, cm\).

\(\\[2em]\)

Aufgabe 4 stabile Lage im Wasser

Das Shortboard hat ein Verhältnis von

\( \quad \frac{0{,}5}{2} = 0{,}25 \)

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Für das Funboard ermitteln wir die Breite an der Stelle \(\frac{k}{2}\).

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\( \quad \frac{0{,}3 \cdot k}{k} = 0{,}3 \)

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Damit liegen alle Funboards stabiler im Wasser als das Shortboard.

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