HMF 8 - Lösung


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Aufgabe 1 Stammfunktion von f

Es bieten sich 2 mögliche Wege an:

  1. Es gilt \(F'(x) \; = \; f(x)\). Der Nachweis ist erbracht, wenn beim Ableiten von \(F(x)\) auch \(f(x)\) heraus kommt.

  2. Aufleiten von \(f(x)\)

\(\\[2em]\)

Version 1 Ableiten von F

\(F(x)\) kann mit der Kettenregel abgeleitet werden:

\( \quad \begin{array}{ c c l } F'(x) & = & g\Big(h(x)\Big) \\[16pt] & & \textit{Nebenrechnung} \\[6pt] & & \begin{array}{ r l } h(x) & = \; x - 2 \\[6pt] h'(x) & = \; 1 \\[6pt] g(h) & = \; \frac{1}{2} \cdot h^4 \, + \, 3 \\[6pt] g'(h) & = \; \frac{4}{2} \cdot h^3 \; = \; 2 h^3 \\[6pt] g'\Big(h(x)\Big) & = \; 2 \cdot (x - 2 )^3 \\[6pt] \end{array} \\[20pt] F'(x) & = & \; h'(x) \cdot g'\Big(h(x)\Big) \\[6pt] F'(x) & = & \; 1 \cdot 2 \cdot (x \, - \, 2)^3 \\[6pt] F'(x) & = & \; 2(x - 2 )^3 \\[6pt] f(x) & = & \; a(x - 2 )^3 \qquad \textit{mit} \quad a = \, 2 \\ \end{array} \)

\(\\[2em]\)

Version 2 Aufleiten von f

\( \quad \begin{array}{ r c l } F(x) & = & \displaystyle{\int} f(x) dx \\[5pt] F(x) & = & \displaystyle{\int} \big(a \cdot (x - 2 )^3\big) dx \\ \end{array} \)

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Die verkettete Funktion \(f_a\) wird mit dem Substitutionsverfahren integriert. Wir wählen als Substitution

\( \quad z \; = \; x - 2 \)

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Die 1. Ableitung wird geschrieben als

\( \quad z'(x) \; = \frac{dz}{dx } \)

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und wir erhalten

\( \quad \begin{array}{ r c l l } \frac{dz}{dx} & = & 1 & | \cdot dx \\[6pt] dz & = & dx \\ \end{array} \)

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Mit \(z\) und \(dz\) eingesetzt ergibt sich

\( \quad \begin{array}{ r c l } \displaystyle{\int} a \cdot z^3 dz & = & \frac{a}{4} \cdot z^4 + C \\[6pt] & = & \frac{a}{4} \cdot (x - 2 )^4 + C \\ \end{array} \)

\(\\\)

Mit Konstante \(C = 3\) und \(a = 2\) erhalten wir

\( \quad \begin{array}{ r c l } \frac{2}{4} \cdot (x - 2 )^4 + 3 & = & \frac{1}{2} \cdot (x - 2 )^4 + 3 \\[6pt] & = & F(x) \\ \end{array} \)

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 negative Funktionswerte

Die Stammfunktion

\( \quad F_a(x) \; = \; \frac{a}{4} \cdot (x - 2 )^4 + C \)

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ist eine Potenzfunktion 4. Grades,

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die um 2 Einheiten nach rechts verschoben ist.

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Wie leicht zu erkennen ist, haben nur Stammfunktionen mit einem negativem \(a\) einen negativen Funktionswert.
Allerdings ist \(F_a(2) = 0\) für \(C= 0\), also nicht negativ. Deshalb muss der \(C\)-Wert auch noch angepasst werden. Damit alle Funktionswert negativ sind,muss gelten \(a < 0 \; \textrm{ und } \; C < 0\) .

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