Kurvenuntersuchung
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
Aufgabe 1 – Skizze
Wir definieren
\(\\\)
und gehen in den Graphikbereich und geben dort \(f(x)\) ein. Wir erhalten folgendes Bild (ohne Flächen).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Summanden des Terms
Dabei ist
\( \quad \left. \begin{align} & A_1 \text{ ist der 1.Summand} \\[6pt] & A_2 \text{ ist der 2.Summand} \\[6pt] & A_3 \text{ ist der 3.Summand} \end{align} \right\} \text{ des Terms } \displaystyle{\int_{-2}^0 f_6(x)dx + 4 \cdot 2 + \int_{4}^6 f_6(x)dx} \)
\(\\\)
Wir berechnen die gesamte Fläche mit
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Extrempunkte
Notwendige Bedingung
Wir definieren die Funktion
\( \quad f_r(x) = -\frac{1}{r} \cdot x^2 + \frac{4}{r} \cdot x + 2 \quad \text{und} \quad r \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}. \)
\(\\\)
als \(g(x)\) mit
\(\\\) Für Extrempunkte gilt, dass \(g'(x)=0\) ist und wir lösen die Gleichung.
\(\\\)
Hinreichende Bedingung
Es gilt \(g''(x) \not= 0\) und wir überprüfen das für \(x=2\).
\(\\\) Wir erhalten \(g''(2)=-\frac{2}{r}\) und müssen unterscheiden, ob in den Funktionen für die Scharenvariable \(r\) die 2. Ableitung mit \(x=2\) positiv oder negativ ist.
Für \(r>0\) ist \(g''(2)<0\) und es liegt an der Stelle \(x=2\) ein Maximum vor.
Für \(r<0\) ist \(g''(2)>0\) und es liegt an der Stelle \(x=2\) ein Minimum vor.
\(\\\)
Funktionswert
Mit
\(\\\) erhalten wir den Punkt \(\left( 2 \big| \frac{4}{r}+2 \right)\).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 4 – Nullstellen
Nullstellen werden berechnet mit der Bedingung \(g(x)=0\).
\(\\\)
Der Wurzelinhalt kann nicht negativ sein, also
\( \quad \begin{align} 2 \cdot (r + 2) & \geq 0 && | \; : 2 \\[6pt] r + 2 & \geq 0 && | \; - 2 \\[6pt] r & \geq -2 \end{align} \)
\(\\\)
Ist \(r > -2\) , so gibt es 2 Nullstellen, also zum Beispiel bei \(r=0\) gilt
\( \quad \begin{align} x & = \pm \sqrt{ 2 \cdot(0+2)} + 2 \\[6pt] x & = \pm \sqrt{ 2 \cdot 2} + 2 \\[6pt] x & = \pm \sqrt{4} + 2 \\[6pt] x & = \pm 2 + 2 \\[6pt] x_1 & = 4 \\[6pt] x_2 & = 0 \end{align} \)
\(\\\)
Bei \(r=-2\) gilt
\( \quad \begin{align} x & = \pm \sqrt{ 2 \cdot( -2 + 2)} + 2 \\[6pt] x & = \sqrt{0} + 2 \\[6pt] x & = 2 \end{align} \)
\(\\\)
Für diesen Fall gibt es also genau eine Nullstelle.
\(\\\) Ist \(r < -2\) , gibt es keine Nullstellen.
\(\\\)