Fläche F
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Flächeninhalt
Die Fläche wird mit dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung berechnet:
\( \quad A = \displaystyle{\int}_a^b f(x) dx =\Big[ F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a) \)
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Wir benötigen also die Stammfunktionen.
\( \quad F(t) = -\frac{1}{5}t^5 + \frac{14}{3}t^4 - \frac{112}{3}t^3 + 128 t^2 + 8t \)
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Für die Stammfunktion von \(g\) formen wir \(g\) zunächst um.
\( \quad g(t) = 280 \cdot e^{-0{,}5 \cdot (t - 9)} = 280 \cdot e^{-0{,}5t + 4.5} \)
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Wir leiten eine e-Funktion auf, indem wir durch die Ableitung des Exponenten teilen.
\( \quad \begin{align} G(t) & = \tfrac{280}{-0{,}5} \cdot e^{-0{,}5 \cdot (t - 9)} \\[6pt] G(t) & = -560 \cdot e^{-0{,}5 \cdot (t - 9)} \end{align} \)
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Für die gesamte Fläche gilt
\( \quad \begin{align} A & = \displaystyle{\int}_0^9 f(t) dt + \displaystyle{\int}_9^{20} g(t) dt \\[8pt] A & = \displaystyle{\int}_0^9 \big(-t^4 + \tfrac{56}{3} t^3 - 112 t^2 +256t + 8 \big) dx + \displaystyle{\int}_9^{20} \big(280 \cdot e^{-0{,}5 \cdot (t - 9)}+7 \big) dx \\[8pt] A & = \Big[-\tfrac{1}{5}t^5 + \tfrac{14}{3}t^4 - \tfrac{112}{3}t^3 + 128 t^2 + 8t \Big]_0^9 + \Big[ -560 \cdot e^{-0{,}5 \cdot (t - 9)}+7x\Big]_9^{20} \\[8pt] A & = -\tfrac{1}{5}\cdot 9^5 + \tfrac{14}{3}\cdot 9^4 - \tfrac{112}{3}\cdot 9^3 + 128 \cdot 9^2 + 8\cdot 9 -\Big(-\tfrac{1}{5}\cdot 0^5 + \tfrac{14}{3}\cdot 0^4 - \tfrac{112}{3}\cdot 0^3 + 128 \cdot 0^2 + 8\cdot 0 \Big) \\[8pt] & +\bigg( \Big( -560 \cdot e^{-0{,}5 \cdot (20 - 9)}+ 7 \cdot 20 \Big) -\Big(-560 \cdot e^{-0{,}5 \cdot (9-9)} + 7 \cdot 9 \Big) \bigg) \\[8pt] A & = 2666{,}91 \text{ FE} \end{align} \)
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Aufgabe 2 – Fläche zerlegen
In der Integralfläche von wahrscheinlich \(f\) vom Intervall \([0;m]\) liegt die Hälfte der Gesamtfläche von \(F\). Es gilt
\( \quad \begin{align} \displaystyle{\int}_0^m f(t) dt & = 0{,}5 \cdot 2666{,}91 \\[8pt] \displaystyle{\int}_0^m \big( -t^4 + \tfrac{56}{3} t^3 - 112 t^2 +256t + 8\big) dt & = 1333{,}455 \\[8pt] \Big[ -\tfrac{1}{5}t^5 + \tfrac{14}{3}t^4 - \tfrac{112}{3}t^3 + 128 t^2 + 8t \Big]_0^m & = 1333{,}455 \\[8pt] -\tfrac{1}{5}m^5 + \tfrac{14}{3}m^4 - \tfrac{112}{3}m^3 + 128m^2 + 8m & = 1333{,}455 && \bigl| -1333{,}455 \\[8pt] -\tfrac{1}{5}m^5 + \tfrac{14}{3}m^4 - \tfrac{112}{3}m^3 + 128m^2 + 8m -1333{,}455 = 0 \end{align} \)
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Näherung mit dem Newton-Verfahren
Eine Funktion 5. Grades lässt sich mit dem normalen Schultaschenrechner nicht mehr lösen (mit dem CAS-Rechner allerdings schon). Wir berechnen m mit dem Newton-Verfahren:
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Prinzip des Newton-Verfahrens
- Startpunkt wählen, der möglichst nah an der gesuchten Nullstelle liegt. In der Abbildung der obere Punkt \(A\).
- Tangente \(t\) an den Graphen durch diesen Punkt anlegen.
- Nullstelle \(C\) der Tangente bestimmen.
- Von der Nullstelle auf den Graphen loten \(D\).
- Durch diesen Punkt eine Tangente an den Graphen anlegen und dessen Nullstelle \(E\) bestimmen.
Das wird nach diesem Muster weiter fortgeführt, so dass wir immer näher an die gesuchte Nullstelle gelangen. Sind wir nahe genug, so können wir das Verfahren nach einem meist vorher festgelegten Kriterium abbrechen.
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Vorgehensweise
Zunächst bestimmen wir einen geeigneten Startpunkt. Dazu suchen wir mit der Tabellenfunktion (‘’table’‘ bei älteren Taschenrechnern) einen \(t\)-Wert, bei dem \(f(t)\) möglichst nah bei Null liegt.
Wir sehen, dass die Funktionswerte das Vorzeichen wechseln bei \(t=6\) bis \(t=7\). Also liegt m dazwischen. Wir wählen als Startwert \(t=7\).
Die Nullstellen der Tangenten berechnen wir mit
\( \quad \boxed{t_{neu} = t_n - \frac{f(t_{alt})}{f'(t_{alt})}} \)
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Die so berechneten Nullstellen stellen die verbesserten Näherungswerte dar. Wir benötigen also
\( \quad f(t) = -\frac{1}{5}t^5 + \frac{14}{3}t^4 - \frac{112}{3}t^3 + 128t^2 + 8t -1333{,}455 \)
und
\( \quad f'(t) = -t^4 + \frac{56}{3}t^3 - 112x^2 + 256x + 8 \)
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Wichtig:
Damit wir schnell zu einem Ergebnis kommen, müssen die Zwischenergebnisse sehr genau sein. Hier sind sie auf 6 Nachkommastellen gerundet.
Für \(t=7\) erhalten wir
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\(t_{neu}=6{,}896456\) nehmen wir nun als den Wert \(t_{alt}\) und berechnen alles noch einmal.
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Dies wiederholen wir so lange, bis das Ergebnis nahe genug an der Nullstelle liegt.
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Mit \(f(t)=-0{,}000052\) sind wir auf 3 Nachkommastellen genau bei Null angelangt und können das Newton-Verfahren an dieser Stelle abbrechen.
Die Fläche \(F\) wird also bei \(m=6{,}895\) in zwei gleich große Stücke zerlegt.
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