HMF 8 - Lösung
\(\\\)
Erwartungswert der Auszahlung
\(\quad \begin{array}{ r c l } A & = & a_1 \cdot P(a_1) + a_2 \cdot P(a_2) \end{array} \)
\(\\[1em]\)
Variablendeklaration
\( \begin{array}{ l c l } \text{Anzahl der blauen Kugeln} & : & x \\[6pt] \text{Anzahl der roten Kugeln} & : & 100 - x \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
Häufigkeitsverteilung in Abhängigkeit der blauen Kugeln
\( \begin{array}{ | c| c | c | } \hline & & \\ \textbf{Ereignis} & \textbf{Auszahlung (a)} & \textbf{Wahrscheinlichkeit P(x)} \\[8pt] \hline & & \\ \text{rote Kugel} & x & \frac{100-x}{100} \\[16pt] \text{blaue Kugel} & 10 & \frac{ x}{100} \\ \\ \hline \end{array} \)
\(\\[1em]\)
Erwartungswert der Auszahlung in Abhängigkeit der blauen Kugeln
\(\quad \begin{array}{ r c l } A(x) & = & x \cdot \frac{100-x}{100} + 10 \cdot\frac{x}{100} \\[8pt] & = & \frac{100x-x^2}{100} + \frac{10x}{100} \\[8pt] & = & \frac{100x}{100} - \frac{x^2}{100} + \frac{10x}{100} \\[8pt] & = & -\frac{x^2}{100} + \frac{110x}{100} \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
Notwendige Bedingung:
\(\quad A'(x)=0\)
\(\\\)
\(\quad \begin{array}{ r c l l } A'(x) & = & -\frac{2}{100}x + \frac{110}{100} \\[12pt] 0 & = & -\frac{1}{50}x + \frac{110}{100} & \bigl| + \frac{1}{50}x \\[8pt] \frac{1}{50}x & = & \frac{110}{100} & \bigl| \, \cdot 50 \\[8pt] x & = & \frac{5500}{100} & \\[8pt] x & = & 55 & \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
Hinreichende Bedingung:
\(\quad A''(x) \not= 0\)
\(\\\)
\(\quad \begin{array}{ r c l c l } A''(x) & = & -\frac{1}{50} \\[8pt] A''(55) & = & -\frac{1}{50} & < & 0 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Eine maximale Auszahlung erfolgt bei \(55\) blauen Kugeln.
\(\\\)