Funktion h


\(\\\)

Aufgabe 1 positive Funktionswerte

Wir betrachten bei

\( \quad h(x) = 5x^2 \cdot e^{\frac{2}{3}x^3} \)

\(\\\)

die Terme

\( \quad 5x^2 \quad \textrm{und} \quad e^{\frac{2}{3}x^3} . \)

\(\\\)

Der Graph von \(5x^2\) stellt eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt im Koordinatenursprung wie dargestellt.

my image

\(\\\)

Graphen von e-Funktionen in der Form

\( \quad a \cdot e^{k(x)} \quad \textrm{mit} \quad a \in \mathbb{R} \; , \; x \in \mathbb{R} \; , \; k(x) \; \textrm{ist ganzrational} \)

\(\\\)

haben bestimmte Verläufe.

Verlaufsformen bei einem positiven \(a\)-Wert:

my image

\(\\\)

Verlaufsformen bei einem negativen \(a\)-Wert:

my image

\(\\\)

Für \(e^{\frac{2}{3}x^3}\) sind die Funktionswerte also stets positiv. Damit haben sowohl \(e^{\frac{2}{3}x^3}\) als auch \(5x^2\) nie negative Funktionswerte. Folglich gibt es auch bei

\( \quad h(x) = 5x^2 \cdot e^{\frac{2}{3}x^3} \)

\(\\\)

keine negativen Funktionswerte.

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 erste Ableitung

\( \quad h(x) = 5x^2 \cdot e^{\frac{2}{3}x^3} = u(x) \cdot v(x) \)

\(\\\)

wird mit der Produktregel

\( \quad h'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \)

\(\\\)

oder in der Kurzschreibweise

\( \quad h'(x) = u' \cdot v + u \cdot v' \)

\(\\\)

abgeleitet. Dabei ist

\( \quad \begin{array}{ r c l c r c l c l } u(x) & = & 5x^2 & & & & & & \\[6pt] u'(x) & = & 10x & & & & & & \\[6pt] v(x) & = & e^{\frac{2}{3}x^3} & = & r \big( s(x) \big) & & & & \\[24pt] & & & & s(x) & = & \frac{2}{3}x^3 & \Leftrightarrow & innerer \; Ausdruck \\[6pt] & & & & s'(x) & = & 2x^2 & \Leftrightarrow & innere \; Ableitung \\[6pt] & & & & r(s) & = & e^s & \Leftrightarrow & \ddot{a}ußerer \; Ausdruck \\[6pt] & & & & r'(s) & = & e^s & \\[6pt] & & & & r' \big( s(x) \big) & = & e^{\frac{2}{3}x^3} & \Leftrightarrow & \ddot{a}ußere \; Ableitung \\[6pt] \end{array} \)

\(\\\)

\( \quad \begin{array}{ r c l l l } v'(x) & = & s'(x) \cdot r' \big( s(x) \big) & \Leftrightarrow & innere \; Ableitung \times \ddot{a}ußere \; Ableitung \\[6pt] v'(x) & = & 2x^2 \cdot e^{\frac{2}{3}x^3} & & \\ \end{array} \)

\(\\\)

Weiter mit der Produktregel :

\( \quad \begin{array}{ r c l l } h'(x) & = & 10x \cdot e^{\frac{2}{3}x^3} + 5x^2 \cdot 2x^2 \cdot e^{\frac{2}{3}x^3} & \qquad \rightarrow e^{\frac{2}{3}x^3} \; ausklammern \\[6pt] & = & \left( 10x + 10x^4 \right) \cdot e^{\frac{2}{3}x^3} & \qquad \rightarrow 10x \; ausklammern \\[6pt] & = & 10x \cdot \left( 1 + x^3 \right) \cdot e^{\frac{2}{3}x^3} & \\ \end{array} \)

\(\\[2em]\)

Aufgabe 3 waagerechte Tangenten

Bei waagerechten Tangenten an den Graphen gilt

\( \quad \begin{array}{ r c l } h'(x) & = & 0 \\[6pt] 0 & = &10x \cdot \left( 1 + x^3 \right) \cdot e^{\frac{2}{3}x^3} \\ \end{array} \)

\(\\\)

Da \(e^{\frac{2}{3}x^3}\not=0\) ist, gehen wir mit der Regel vom Nullprodukt

,,Ist \(a \cdot b = 0\), so ist \(a=0\) und/oder \(b=0\).‘’

\(\\\)

von

\( \quad 10x=0 \quad \textrm{und} \quad 1 + x^3 = 0 \)

aus.

\( \quad \begin{array}{ r c l l } 10x & = & 0 & | \; : 10 \\[6pt] x_1 & = & 0 & \\[24pt] 1 + x^3 & = & 0 & | -1 \\[6pt] x^3 & = & -1 & \Bigl| \sqrt[3]{\dots} \\[6pt] x_2 & = & -1 & \\ \end{array} \)

\(\\\)

Ausgehend von der allgemeinen Geradengleichung

\( \quad y = mx + b \)

\(\\\)

können wir die Tangentengleichung bei einer waagerechten Tangente, also \(m=0\) vereinfachen zu \(y = b\) .

Wir bestimmen \(b\) , indem wir die \(y\)-Werte unserer Lösungen ermitteln:

\( \quad \begin{array}{ r c l } h(0) & = & 5 \cdot 0^2 \cdot e^{\frac{2}{3} \cdot 0^3} \\[6pt] h(0) & = & 0 \\[24pt] h(-1) & = & 5 \cdot (-1)^2 \cdot e^{\frac{2}{3} \cdot (-1)^3} \\[6pt] h(-1) & = & 5 \cdot e^{-\frac{2}{3}} \\ \end{array} \)

\(\\\)

Damit erhalten wir \(b_1=0\) und \(b_2=5 \cdot e^{-\frac{2}{3}}\) . Das heißt, dass wir die Tangentengleichungen

\( \quad \begin{array}{ r c l } y_1 & = & 0 \\[6pt] y_2 & = & 5 \cdot e^{-\frac{2}{3}} \\ \end{array} \)

\(\\\)

erhalten. \(y_1\) ist die \(x\)-Achse und \(y_2\) die angegebene Gerade \(t\) .

\(\\[2em]\)

Aufgabe 4 Fläche zwischen t und h

Um die Fläche zwischen \(g\) und \(t\) zu berechnen,

my image

\(\\\)

brauchen wir den 2.Schnittpunkt. Dazu setzen wir die Funktionsgleichungen gleich:

\( \quad \begin{array}{ r c l l } t(x) & = & g(x) & | -t(x) \\[6pt] 0 & = & g(x) - t(x) & \\[6pt] 0 & = & 5 \cdot x^2 \cdot e^{\frac{2}{3} \cdot x^3} -5 \cdot e^{-\frac{2}{3}} & \\ \end{array} \)

\(\\\)

Den rechten Teil der Gleichung nennen wir die Differenzfunktion \(d\) mit

\( \quad d(x) \; = \; 5 \cdot x^2 \cdot e^{\frac{2}{3} \cdot x^3} -5 \cdot e^{-\frac{2}{3}} \; , \)

\(\\\)

wobei \(d(x) = 0\) ist.

my image

\(\\\)

Mit den herkömmlichen Lösungsverfahren wie

können wir die Nullstellen von \(d\) nicht berechnen. Wir müssen auf ein Näherungsverfahren wie zum Beispiel das Newton-Verfahren zurückgreifen. Alternativ dazu kann man aber auch bei den höheren Taschenrechnerfunktionen den Solve-Befehl verwenden, der ja auch auf einen Näherungsalgorithmus basiert.

Mit dem Casio fx 991-DE X schreiben wir

my image

mit dem \(\color{#CC0000}{roten}\) Gleichheitszeichen. Die Tastenkombination \(\boxed{\color{#C19A6B}{SHIFT}}\) \(\boxed{CALC}\) liefert

my image

Wie die obige Zeichnung zeigt, muss die gesucht Nullstelle zwischen \(0{,}5\) und \(1\) liegen. Wir geben für die Berechnung den Startwert \(0{,}5\) vor.

my image

Wir bestätigen zweimal mit \(\boxed{=}\).

my image

Die gesuchte Nullstelle liegt bei \(x=0{,}653\).

\(\\\)

Die von \(t\) und \(h\) eingeschlossene Fläche wird berechnet mit

\( \begin{array}{ r c l } A & = & \Biggl|\displaystyle{\int}_{-1}^{0.653} d(x) dx \Biggl| \\[8pt] & = & \Biggl| \displaystyle{\int}_{-1}^{0{,}653} \left( 5 \cdot x^2 \cdot e^{\frac{2}{3} \cdot x^3} -5 \cdot e^{-\frac{2}{3}} \right) \, dx \Biggl| \\[8pt] & = & \bigl|-2{,}517 \bigl| \\[8pt] & = & 2{,}517 \\ \end{array} \)

\(\\\)