Binomialverteilung

---

\(\\\)

Wir berechnen die Binomialverteilung mit

\( \quad P(x=k) = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) \end{smallmatrix} p^k \cdot (1-p)^{n-k} \)

\(\\\)

und berechnen die kumulierte (aufsummierte) Binomialverteilung mit

\( \quad P(x\leq k) = \displaystyle{\sum_{i=1}^k} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} n \\ i \end{array} \right) \end{smallmatrix} p^i \cdot (1-p)^{n-i}. \)

\(\\\)

Wir benötigen also \(n\), \(p\) und \(k\), wobei \(p=0{,}2\) ist.

Bei “A” haben wir \(n=50\) und \(k=8\). Der Taschenrechner bietet für die Binomialverteilung die ‘’Binomial-Dichte’‘ oder auch ’‘Binom PD bzw. Binomial PDF’‘ je nach Ausführung des Taschenrechner an. Wir erhalten (in der alten Notation)

\( \quad P_{50 ; 0{,}2}(x=8) = 0{,}1169 = 11{,}69 \% \)

\(\\\)

Bei “B” haben wir \(n=200\).

15% davon sind

\( \quad 200 \cdot 0{,}15 = 30 \)

\(\\\)

und 25% davon sind

\( \quad 200 \cdot 0{,}25 = 50 \)

\(\\\)

Mit \(30<k<50\) also den Werte von 31 bis 49, ziehen wir von den Werten bis 49 alle die Werte ab, die zu viel sind, also alle Werte bis 30. Dazu benutzen wir im Taschenrechner die ‘’kumulierte Binomialverteilung’‘ oder ’‘Binom CD bzw. Binomial CDF’‘.

\( \quad \begin{align} P_{50 ; 0{,}2}(30<x<50) & = P_{50 ; 0{,}2} (x\leq 49) - P_{50 ; 0{,}2} (x\leq 30) \\[8pt] P_{50 ; 0{,}2}(30<x<50) & = 0{,}9506 - 0{,}043 \\[8pt] P_{50 ; 0{,}2}(30<x<50) & = 0{,}9076 \\[8pt] P_{50 ; 0{,}2}(30<x<50) & = 90{,}76 \% \end{align} \)

\(\\\)

Bei “C” brauchen wir den Erwartungswert mit \(n=10\).

\( \quad \mu = n \cdot p = 10 \cdot 0{,}2 = 2 \)

\(\\\)

und berechnen

\( \quad P_{10;0.2}(x=2) = 0{,}302 = 30{,}2 \% \)

\(\\\)