Fehlerhafte Armbänder
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Fehler erster Art
Der Fehler erster Art ist die Wahrscheinlichkeit (oder das Risiko), dass die Nullhypothese aufgrund des Stichprobenergebnisses verworfen wird, obwohl die Nullhypothese richtig ist. In diesem Falle ist es das Risiko, dass die Hypothese
,,Der Anteil der fehlerhaften Armbänder beträgt mindestens 7%.‘’
verworfen wird.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Abbildung
Für den Fehler erster Art gilt, dass \(p < 0.07\) ist. Das Signifikanzniveau beschreibt die zugehörige Wahrscheinlichkeit.
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Wie in der Abbildung zu sehen ist, liegt in diesem Bereich das Signifikanzniveau eindeutig über \(0.09 = 9 \%\). Bereits bei \(p = 0.07\) ist zu erkennen, dass \(w = 0.0975\) ist und bei kleiner werdenden \(p\) weiter ansteigt.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Umfang der Stichprobe
Um den Umfang \(n\) zu berechnen, verwenden wir
-
\(p = 0{,}07\)
-
\(w = 0{,}0975\)
mit der Ungleichung
\( \quad P(x \leq 4) \; \leq 0{,}0975 \)
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Es gibt 2 Möglichkeiten, dass \(n\) mit diesem Ansatz zu ermitteln:
Stichprobenumfang durch Probieren
Durch mehrfaches Einsetzen von \(n\) in die kumulierte Binomialverteilung nähern wir uns dem gesuchten Signifikanzniveau an. Mit dem CASIO fx-991 DE X gehen wir wie folgt vor. Wir wählen \(\boxed{MENU}\) \(\boxed{7}\) .
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Mit \(\boxed{\downarrow}\) gelangen wir auf die nächste Seite.
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Wir wählen die kumulierte Binomialverteilung mit \(\boxed{1}\)
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und anschließend \(\boxed{2}\) .
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Wir starten mit \(n=20\).
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Jede Eingabe wird mit \(\boxed{=}\) bestätigt. Anschließend wird ein weiteres Mal \(\boxed{=}\) gedrückt.
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Dieser Wert ist noch sehr hoch. Das nächste \(n\) können wir wesentlich höher wählen. Wir drücken \(\boxed{=}\) und überschreiben das \(n\).
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So fahren wir fort bis \(p=0{,}0975\) oder weniger ist. Die folgenden Ergebnisse lauten:
\( \quad \begin{array}{ r | l } \mathbf{n} \; \; \; \; & \quad \mathbf{p} \\[4pt] \hline \\[-4pt] 110 & 0{,}1094 \\[6pt] 111 & 0{,}1050 \\[6pt] 112 & 0{,}1007 \\[6pt] 113 & 0{,}0966 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Der Test verwendet eine Stichprobe von \(113\) Armbändern.
\(\\[1em]\)
Stichprobenumfang per Rechnung
Die Sigma-Umgebung reicht bis zu dem Übergang des roten bis zum blauen Bereich. Daraus ergibt sich, dass
\( \quad \begin{array}{ r c l l } z \cdot \sigma & = & 4 + 0{,}5 - \mu & | \, : \sigma \\[6pt] z & = & \dfrac{4 + 0{,}5 - \mu}{\sigma} \\ \end{array} \)
\(\\\)
ist. Den \(z\)-Wert können wir mithilfe der Normalverteilung ermitteln. Den gesuchten \(z\)-Wert nennen wir \(z_0\).
Wie hier zusehen ist, ist die Normalverteilung eine stetige (fortlaufend fließende) Funktion und die Binomialverteilung eine diskrete (punktförmige oder stufenförmige) Funktion. Näherungsweise darf für den Sachverhalt in der Binomialverteilung aber die Normalverteilung verwendet werden.
Es gilt nun, dass die Integralfläche von \(\varphi(z)\) an der Stelle \(z_0\) genauso groß ist wie Binomialverteilung bis \(x=4\) ist, also
\( \quad \begin{array}{ r c l } P(x \leq 4) & = & \Phi(z_0) \\ \end{array} \)
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\(z_0\) wird auch der Radius (Abstand von \(\mu\) nach links oder rechts) und kann auf auf zwei Arten bestimmt werden:
-
per Radius mit den Tabellenwerken bestimmen
\(\\[1em]\)
Radius mit dem Taschenrechner bestimmen
Für die Normalverteilung gilt \(\mu=0\) und \(\sigma=1\). Mit der inversen Normalverteilung kann jetzt \(z_0\) berechnet werden.
Wir wählen \(\boxed{MENU}\) \(\boxed{7}\)
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und weiter \(\boxed{3}\).
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Zweimal bestätigen mit \(\boxed{=}\) ergibt
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Damit ist \(z_0=-1{,}2959\). Dies setzen wir in die obige Gleichung von \(z\) ein.
\( \quad \begin{array}{ r c l l } -1{,}2959 & = & \dfrac{4{,}5 - \mu}{\sigma} \\[10pt] -1{,}2959 & = & \dfrac{4{,}5 - n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}} \\[10pt] -1{,}2959 & = & \dfrac{4{,}5 - 0{,}07 n}{\sqrt{ 0{,}07 \cdot (1-0{,}07) n}} \\ \end{array} \)
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Diese Gleichung kann nun mit dem SOLVE-Befehl des Taschenrechners gelöst werden. Wir geben die Gleichung in den CASIO fx-991 DE X ein, wobei wir für das Gleichheitszeichen die Tastenkombination \(\boxed{\color{#CC0000}{ALPHA} }\) \(\boxed{CALC}\) verwenden.
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Wir führen den SOLVE-Befehl mit der Tastenkombination \(\boxed{\color{#C19A6B}{SHIFT} }\) \(\boxed{CALC}\) aus.
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Der nun angezeigte Wert ist noch nicht die Lösung, sondern der vom Taschenrechner zuletzt gespeicherte Wert. Mit \(\boxed{=}\) erscheint die Lösung.
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Wir brauchen den nächstgrößeren ganzzahligen Wert für \(n\), was in diesem Fall \(115\) wäre. Dies ist nur eine näherungsweise Lösung, also nicht ganz exakt. Deshalb überprüfen wir \(n=115\) mit der kumulierten Binomialverteilung. Dazu wählen wir \(\boxed{MENU}\) \(\boxed{7}\) .
\(\\\)
Mit \(\boxed{\downarrow}\) gelangen wir auf die nächste Seite.
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Wir wählen die kumulierte Binomialverteilung mit \(\boxed{1}\)
\(\\\)
und anschließend \(\boxed{2}\) .
\(\\\)
Wir geben die Werte mit \(n=115\) ein
\(\\\)
und bestätigen mit \(\boxed{=}\) .
\(\\\)
\(p\) ist kleiner als \(9{,}75 \, \%\), jedoch noch etwas zu kleiner. Das heißt, das \(n\) auch kleiner gewählt werden kann. Wir untersuchen die nächstkleineren Werte von \(n\).
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Bei \(n=112\) ist \(p\) zu groß. Also ist \(n=113\) der Umfang der Stichprobe.
\(\\[1em]\)
Radius mit den Tabellenwerken bestimmen
Wie in der Abbildung der Normalverteilung zu sehen ist, liegt \(z_0\) auf der negativen \(z\)-Achse. Bei den Tabellen gilt
\( \quad \begin{array}{ r c l } \Phi(-z) & = & 1 - \Phi(z) \\[6pt] & = & 1 - 0{,}0975 \\[6pt] & = & 0{,}9025 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Für den gesuchten \(z\)-Wert muss der Tabellenwert also mindestens \(0{,}9025\) betragen.
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Der \(z\)-Wert steht in der linken Spalte mit einer Kommastelle. Die zweite Kommastelle wird in der oberen Reihe abgelesen. Damit erhalten wir \(z=1{,}30\). Da \(z_0\) auf der negativen \(z\)-Achse liegt, ist \(z_0=-1{,}30\).
Wir setzen diesen Wert setzen in die obige Gleichung von \(z\) ein.
\( \quad \begin{array}{ r c l l } -1{,}30 & = & \dfrac{4{,}5 - \mu}{\sigma} \\[10pt] -1{,}30 & = & \dfrac{4{,}5 - n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}} \\[10pt] -1{,}30 & = & \dfrac{4{,}5 - 0{,}07 n}{\sqrt{ 0{,}07 \cdot (1-0{,}07) n}} \\ \end{array} \)
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Verfügt der Taschenrechner über den \textcolor{blue}{SOLVE-Befehl}, so kann die Gleichung jetzt damit gelöst werden, vergleiche \textcolor{blue}{Radius mit dem Taschenrechner bestimmen}. Ansonsten lösen wir die Gleichung weiter auf.
\( \quad \begin{array}{ r c l l } -1{,}30 & = & \dfrac{4{,}5 - 0{,}07 n}{\sqrt{ 0{,}07 \cdot (1-0{,}07) n}} \\[10pt] -1{,}3 & = & \dfrac{4{,}5 - 0{,}07 n}{\sqrt{ 0{,}0651 n}} & | \cdot \sqrt{ 0{,}0651 n} \\[10pt] -1{,}3 \cdot \sqrt{ 0{,}0651 n} & = & 4{,}5 - 0{,}07 n & | \, + 1{,}3 \cdot \sqrt{ 0{,}0651 n} \\[8pt] 0 & = & -0{,}07 n + 1{,}3 \cdot \sqrt{ 0{,}0651 n} + 4{,}5 \\[8pt] 0 & = & -0{,}07 n + 1{,}3 \cdot \sqrt{ 0{,}0651} \cdot \sqrt{n} + 4{,}5 \\[8pt] \end{array} \)
Substitution: \(x = \sqrt{n}\)
\( \quad \begin{array}{ r c l } 0 & = & -0{,}07 x^2 + 1{,}3 \cdot \sqrt{ 0{,}0651} \cdot x + 4{,}5 \end{array} \)
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Wir lösen die Gleichung mit der Nullstellenberechnung von Polynomen des Taschenrechners. Bei dem CASIO fx-991 DE X wählen wir die Tastenkombination \(\boxed{MENU}\) \(\boxed{\color{#C19A6B}{SHIFT} }\) \(\boxed{(-)}\)
\(\\\)
und \(\boxed{=}\) .
\(\\\)
Weiter wählen wir die \(\boxed{2}\)
\(\\\)
und noch einmal die \(\boxed{2}\) .
\(\\\)
Wir geben die Werte ein und bestätigen jeweils mit \(\boxed{=}\) .
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Für das Ergebnis noch einmal mit \(\boxed{=}\) bestätigen.
\(\\\)
\(n\) wird mit der Resubstitution
\( \quad \begin{array}{ r c l l } \sqrt{n} & = & x & \bigl| \, (\dots)^2 \\[6pt] n & = & x^2 & \\ \end{array} \)
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bestimmt.
\( \quad \begin{array}{ r c c c l } n_1 & = & 10{,}72978021^2 & = & 115{,}1281834 \\[6pt] n_2 & = & (-5{,}991335615)^2 & = & 35{,}89610245 \\ \end{array} \)
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Die berechneten Werte für \(n\) sind jeweils die Mindestwerte. Da es aber nur ganzzahlige Anzahlen gibt, müssen wir die Werte aufrunden. Damit erhalten wir
\( \quad \begin{array}{ r c l } n_1 & = & 116 \\[6pt] n_2 & = & 36 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Da diese Werte mithilfe der Normalverteilung bestimmt wurden, sind es nur Näherungswerte. Wir überprüfen mit der kumulierten Wahrscheinlichkeit, ob das Signifikanzniveau auch wirklich \(9{,}75 \%\) oder weniger ist. Dazu wählen wir \(\boxed{MENU}\) \(\boxed{7}\) .
\(\\\)
Mit \(\boxed{\downarrow}\) gelangen wir auf die nächste Seite.
\(\\\)
Wir wählen die kumulierte Binomialverteilung mit \(\boxed{1}\)
\(\\\)
und anschließend \(\boxed{2}\) .
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Wir geben die Werte ein.
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\(n=36\) kommt als Lösung nicht infrage. Bei \(n=116\) liegt die Wahrscheinlichkeit unter \(9{,}75 \%\). Jedoch ist da noch Spielraum. Deshalb betrachten wir die nächstkleineren Werte.
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Bei \(n=112\) ist \(p\) zu groß. Also ist \(n=113\) der Umfang der Stichprobe.
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