Fehlerhafte Armbänder
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Fehler erster Art
Der Fehler erster Art ist die Wahrscheinlichkeit (oder das Risiko), dass die Nullhypothese aufgrund des Stichprobenergebnisses verworfen wird, obwohl die Nullhypothese richtig ist. In diesem Falle ist es das Risiko, dass die Hypothese
,,Der Anteil der fehlerhaften Armbänder beträgt mindestens 7%.‘’
verworfen wird.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Abbildung
Für den Fehler erster Art gilt, dass \(p < 0.07\) ist. Das Signifikanzniveau beschreibt die zugehörige Wahrscheinlichkeit.
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Wie in der Abbildung zu sehen ist, liegt in diesem Bereich das Signifikanzniveau eindeutig über \(0.09 = 9 \%\). Bereits bei \(p = 0.07\) ist zu erkennen, dass \(w = 0.0975\) ist und bei kleiner werdenden \(p\) weiter ansteigt.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Umfang der Stichprobe
Um den Umfang \(n\) zu berechnen, verwenden wir
-
\(p = 0{,}07\)
-
\(w = 0{,}0975\)
mit
\( \quad P(x \leq 4) \; \leq 0{,}0975 \)
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Mit zunehmenden \(n\) verschiebt sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung immer weiter nach rechts, so dass sich das Signifikanzniveau (rot) zunehmend verkleinert. Durch gezieltes Probieren kann das kleinstmögliche \(n\) gefunden werden, bei der das Signifikanzniveau höchstens \(9{,}75 \%\) beträgt.
\( \quad \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{ r | c } \mathbf{n} \; & \mathbf{P(x \leq 4)} \\[4pt] \hline \\[-15pt] 20 & 0{,}9893 \\[6pt] 50 & 0{,}7290 \\[6pt] 100 & 0{,}1632 \\[6pt] 110 & 0{,}1094 \\[6pt] 111 & 0{,}1050 \\[6pt] 112 & 0{,}1007 \\[6pt] \color{green}{113} & \color{green}{0{,}0966} \\ \end{array} \)
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Bei \(n=113\) wird \(0{,}0975\) das erste Mal unterschritten. Der Test verwendet also eine Stichprobe von \(113\) Armbändern.
\(\\[1em]\)