Multiplikation von Matrizen
Inhaltsverzeichnis
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Vektoren in der Linearen Algebra
Bevor wir zu der Matrizenmultiplikation kommen noch ein Wort zu Vektoren in der Linearen Algebra.
Zum einen ist die Notation anders in der Linearen Algebra als in der Analytischen Geometrie. Hier werden Vektoren meist mit einem fettgedruckten Kleinbuchstaben statt einem Buchstaben mit einem Pfeil darüber notiert. In den meisten Literaturen ist es so und hier wird es auch so gehalten.
Zum anderen sind Vektoren in der Analytischen Geometrie der Schulmathematik als Spaltenvektoren eingeführt worden. Vektoren werden in der Linearen Algebra weiter differenziert. Das hat dann auch Konsequenzen für die Berechnung mit Vektoren, wie das Folgende zeigt.
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Spaltenvektoren und Zeilenvektoren
Im Gegensatz zu der Analytischen Geometrie wird in der Linearen Algebra zwischen Spaltenvektoren von der Form
\( \quad \mathbf{a} \; = \begin{array}{ c } \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_m \end{array} \right) \end{array} \)
und Zeilenvektoren von der Form
\( \quad \mathbf{a'} \; = \begin{array}{ *{4}{c} } \Big( a_1 & a_2 & \cdots & a_n \Big) \end{array} \)
unterschieden. Der Zeilenvektor wird mit einem Strich notiert.
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Skalarprodukt in der Linearen Algebra
Im Gegensatz zum Skalarprodukt der Analytischen Geometrie ist das Skalarprodukt hier mit einem einfachen Malpunkt notiert und folgendermaßen definiert:
\( \quad \mathbf{a'} \cdot \mathbf{b} \; = \begin{array}{ *{4}{c} } \Big( a_1 & a_2 & \cdots & a_n \Big) \end{array} \cdot \begin{array}{ c } \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array} \right) \end{array} = \; a_1 \cdot b_1 + a_1 \cdot b_1 + \cdots + a_n \cdot b_n \)
Das bedingt, dass die Anzahl der Elemente des Zeilenvektors gleich der Anzahl der Elemente des Spaltenvektors sein muss. Ferner ist die Reihenfolge der Vektoren im Skalarprodukt wichtig. Eine Multiplikation von der Form \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b'}\), also Spaltenvektor mal Zeilenvektor, ist kein Skalarprodukt, sondern ein dyadisches Produkt.
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Matrizenmultiplikation
Die Multiplikation zweier Matrizen ist im Grunde das Skalarprodukt jeder Zeile der 1. Matrix mit jeder Spalte des 2. Vektors. Das Falk-Schema zeigt die Vorgehensweise.
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Falk-Schema
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Dimension der Matrix
Bei der Multiplikation zweier Matrizen müssen deren Dimension beachtet werden. Die Dimension wird geschrieben als \(( \textrm{Zeilenanzahl} \times \textrm{Spaltenanzahl})\). Dazu ein Beispiel mit einer \((4\times2)\)-Matrix und einer \((2\times3)\)-Matrix.
\( \quad \begin{array}{ r*{3}{l}} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} & = & \left( \begin{array}{ r r } 2 & 1 \\ -1 & 4 \\ 0 & 2 \\ 3 & 2 \\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ r r } 1 & 5 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ \end{array} \right) \\ \end{array} \)
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Die Berechnung erfolgt nach dem Falk-Schema hier in tabellarischer Form.
\( \quad \begin{array}{ r r | r r r } && 1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \, & 5 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; & -3 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\[5pt] && 4 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \, & -2 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; & 1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\[5pt] \hline 2 & 1 \; & 2 \cdot 1 + 1 \cdot 4 \; \; & 2 \cdot 5 + 1 \cdot (-2) \; \; & 2 \cdot (-3) + 1 \cdot 1 \\[5pt] -1 & 4 \; & -1 \cdot 1 + 4 \cdot 4 \; \; & -1 \cdot 5 + 4 \cdot (-2) \; \; & -1 \cdot (-3) + 4 \cdot 1 \\[5pt] 0 & 2 \; & 0 \cdot 1 + 2 \cdot 4 \; \; & 0 \cdot 5 + 2 \cdot (-2) \; \; & 0 \cdot (-3) + 2 \cdot 1 \\[5pt] 3 & 2 \; & 3 \cdot 1 + 2 \cdot 4 \; \; & 3 \cdot 5 + 2 \cdot (-2) \; \; & 3 \cdot (-3) + 2 \cdot 1 \\ \end{array} \)
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Es ist leicht zu erkennen, dass die Anzahl der Spalten der Matrix \(\mathbf{A}\) identisch sein muss mit der Zeilenanzahl der Matrix \(\mathbf{B}\). Ansonsten könnten keine Skalarprodukte gebildet werden. Ebenso ergibt sich die Dimension der Ergebnismatrix aus den Zeilen der Matrix \(\mathbf{A}\) und den Spalten der Matrix \(\mathbf{B}\).
Die Berechnung kann zu Fuß mitunter recht aufwändig sein. Eine gute Alternative dazu ist die Berechnung mit dem Taschenrechner.
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Dyadisches Produkt
Die Multiplikation zweier Vektoren von der Form \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b'}\) nennt sich ein dyadisches Produkt und hat als Ergebnis eine Matrix. Hier müssen die Anzahlen der Elemente beider Vektoren im Gegensatz zum Skalarprodukt nicht gleich sein.
\( \quad \begin{array}{ r*{3}{l}} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b'} = \left( \begin{array}{ r } 1 \\ -2 \\ 3 \\ \end{array} \right) \cdot \begin{array}{ *{4}{c} } \Big( 4 & 5 & -6 & 7 \Big) \end{array} \\ \end{array} \)
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Mit dem Falk-Schema ergibt sich
\( \quad \begin{array}{ r | r r r r } & 4 & 5 & -6 & 7 \\[5pt] \hline 1 \; & 4 & 5 & -6 & 7 \\[5pt] -2 \; & -8 & -10 & 12 & -14 \\[5pt] 3 \; & 12 & 15 & -18 & 21 \\ \end{array} \)
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das dyadische Produkt
\( \quad \begin{array}{ r*{3}{l}} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b'} & = & \left( \begin{array}{ r r r r } 4 & 5 & -6 & 7 \\ -8 & -10 & 12 & -14 \\ 12 & 15 & -18 & 21 \\ \end{array} \right) \end{array} \)