Hypothesentest und Konfidenzintervall


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Aufgabe 1 zweiseitiger Hypothesentest

\(x\) beschreibt die Anzahl der defekten Bildschirme und ist binomialverteilt mit \(n=180\)

Wir wollen die Behauptung des Mitarbeiters \(p\not=0{,}2\) widerlegen und formulieren

\(h_1\): \(p\not=0{,}2\) als zu beweisende Hypothese

\(h_0\): \(p=0{,}2\) als Nullhypothese, mit der wir arbeiten

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Für den Annahmebereich gilt

\( \quad k<a \quad und \quad k>b \)

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\(\\\) Um zu zeigen, dass die Behauptung des Mitarbeiters mit der Hypothese \(h_1\) falsch ist, müssen wir sicher sein, dass die Nullhypothese in den angegebenen Bereichen nicht gilt und berechnen \(a\) und \(b\) mit

\( \quad \begin{align} a & = \mu-1{,}96 \cdot \sigma \\[6pt] b & = \mu+1{,}96 \cdot \sigma \end{align} \)

\(\\\)

Wir erhalten mit

\( \quad \mu = n \cdot p = 180 \cdot 0{,}2 = 36 \)

\(\\\)

und

\( \quad \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{180 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8} = \sqrt{28{,}8} \approx 5{,}3666 \)

\(\\\)

sowie die Werte

\( \quad a = 36-1{,}96 \cdot \sqrt{28{,}8} = 25{,}4815 \)

\(\\\)

und

\( \quad b = 36 +1{,}96 \cdot \sqrt{28{,}8} = 46{,}5185 \)

\(\\\)

Die Nullhypothese gilt also nicht für \(k<26\) und \(k>46\). Damit kommen wir zu der

Entscheidungsregel:
Haben wir in einer Stichprobe weniger als 26 oder mehr als 46 defekte Bildschirme, so kann die Annahme, dass \(p\not=0{,}2\) gestützt werden.

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Bei unserer Stichprobe mit \(k=27\) liegt die Anzahl der defekten Bildschirme aber nicht in den beiden Bereichen. Also muss \(p\not=0{,}2\) verworfen werden. Es sind also tatsächlich 20% der Bildschirme defekt.

\(\\[1em]\)

Aufgabe 2 Konfidenzintervall

Wie hier zu sehen ist, liegt 27 gerade noch in der 95%-igen \(\sigma\)-Umgebung sowohl für \(p_{min}\) als auch für \(p_{max}\). Diesen Bereich der Wahrscheinlichkeiten nennt man Konfidenzintervall.

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\(\\\) Je größer \(p\) ist, desto weiter rechts verläuft die Kurve. Wir berechnen \(p_{min}\) und \(p_{max}\) mit den angegebenen Formeln. Dabei ist \(n=180\) und \(h\) die relative Häufigkeit mit

\( \quad h = \frac{k}{n} = \frac{27}{180} = 0{,}15 \)

\(\\\)

Die Wahrscheinlichkeiten ergeben

\( \quad \begin{align} p_{min} & = 0{,}15 - 1{,}96 \cdot \sqrt{\tfrac{0{,}15 \cdot (1 - 0{,}15)}{180}} \\[6pt] p_{min} & = 0{,}0978 = 9{,}78 \% \end{align} \)

\(\\\)

und

\( \quad \begin{align} p_{max} & = 0{,}15 + 1{,}96 \cdot \sqrt{\tfrac{0{,}15 \cdot (1 - 0{,}15)}{180}} \\[6pt] p_{max} & = 0{,}2022 = 20{,}22 \% \end{align} \)

\(\\\)
Das 95%-ige Konfidenzintervall lautet [0,0978 ; 0,2022].

\(\\[1em]\)

Aufgabe 3 Länge des Konfidenzintervalls

Die Länge des Konfidenzintervalls lässt sich berechnen mit

\( \quad \begin{align} p_{max} - p_{min} & = h + 1{,}96 \cdot \sqrt{\tfrac{h \cdot (1 - h)}{n}} - \left(h - 1{,}96 \cdot \sqrt{\tfrac{h \cdot (1 - h)}{n}} \right) \\[8pt] p_{max} - p_{min} & = h + 1{,}96 \cdot \sqrt{\tfrac{h \cdot (1 - h)}{n}} - h + 1{,}96 \cdot \sqrt{\tfrac{h \cdot (1 - h)}{n}} \\[8pt] p_{max} - p_{min} & = 3{,}92 \cdot \sqrt{\tfrac{h \cdot (1 - h)}{n}} \end{align} \)

\(\\\)

Ersetzen wir nun \(n\) durch \(2n\), so erhalten wir

\( \quad \begin{align} 3{,}92 \cdot \sqrt{\tfrac{h \cdot (1 - h)}{2n}} &= 3{,}92 \cdot \tfrac{ \sqrt{h \cdot (1 - h)}}{\sqrt{2n}} \\[10pt] 3{,}92 \cdot \sqrt{\tfrac{h \cdot (1 - h)}{2n}} &= 3{,}92 \cdot \tfrac{\sqrt{h \cdot (1 - h)}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{n}} \\[10pt] 3{,}92 \cdot \sqrt{\tfrac{h \cdot (1 - h)}{2n}} &= \tfrac{3{,}92}{\sqrt{2}} \cdot \tfrac{\sqrt{h \cdot (1 - h)}}{\sqrt{n}} \\[10pt] 3{,}92 \cdot \sqrt{\tfrac{h \cdot (1 - h)}{2n}} &= 2{,}772 \cdot \sqrt{\tfrac{h \cdot (1 - h)}{n}} \\[10pt] 3{,}92 \cdot \sqrt{\tfrac{h \cdot (1 - h)}{2n}} &< p_{max} - p_{min} \end{align} \)

\(\\\)

Ferner ist

\( \quad 2{,}772 \cdot \sqrt{\tfrac{h \cdot (1 - h)}{n}} \not= \frac{3{,}92 }{2} \cdot \sqrt{\frac{h \cdot (1 - h)}{n}} = \frac{p_{max} - p_{min} }{2} \)

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