HMF 5 - Lösung

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Aufgabe 1 – identische Geraden

Damit 2 Geraden identisch sind, müssen sie einen gemeinsamen Punkt haben und parallel zueinander sein. Bei parallelen Geraden sind die Richtungsvektoren kollinear zueinander und es gilt

\( \quad \begin{array}{ r r c l c r c l } & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} a \\ 4 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & k \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 2a \\ a \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[12pt] \textrm{I} & a & = & k \cdot 2a \\[6pt] \textrm{II} & 4 & = & k \cdot a \\[6pt] \textrm{III} & 1 & = & 2k & \Leftrightarrow & \quad \frac{1}{2} & = & k \\ \end{array} \)

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\(k\) eingesetzt in \(\textrm{II}\) :

\( \quad \begin{array}{ r c l l } 4 & = & \frac{1}{2} a & | \; \cdot 2 \\[6pt] 8 & = & a & \\ \end{array} \)

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\(a\) und \(k\) eingesetzt in \(\textrm{I}\) :

\( \quad \begin{array}{ r c l l } 8 & = & \frac{1}{2} \cdot 2\cdot 8 \\[6pt] 8 & = & 8 \\ \end{array} \)

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Das ist eine wahre Aussage. Damit sind \(g_8\) und \(h_8\) identisch.

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 – orthogonale Geraden

Sind 2 Geraden orthogonal zueinander, so ergibt das Skalarprodukt der Richtungsvektoren gleich Null.

\( \quad \begin{array}{ r c l l} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} a \\ 4 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \renewcommand{\arraystretch}{1} \begin{array}{r} 2a \\ a \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & 0 \\[12pt] a \cdot 2a + 4 \cdot a + 1 \cdot 2 & = & 0 \\[6pt] 2a^2 + 4a + 2 & = & 0 & | \; : 2 \\[6pt] a^2 + 2a + 1 & = & 0 & \\ \end{array} \)

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Mit der PQ-Formel

\( \quad x_{1,2} \; =\; -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \)

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erhalten wir

\( \quad \begin{array}{ r c l l} a_{1,2} & = & -\frac{2}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2-1} \\[8pt] a_{1,2} & = & -1\pm \sqrt{1^2 - 1} \\[6pt] a & = & -1 \\ \end{array} \)

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