Binomialverteilung
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Kumulierte Binomialverteilung
Wir berechnen die kumulierte (aufsummierte) Binomialverteilung mit
\( \quad P(x\leq k) = \displaystyle{\sum_{i=0}^k} \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{c}n \\ i \end{array} \right)\end{smallmatrix} p^i \cdot (1-p)^{n-i} \)
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Wir benötigen also \(n\), \(p\) und \(k\) und wählen
\( \quad \begin{array}{ l } n = 550 \\[6pt] p = 0{,}06 \\[6pt] 40 < k \leq 50 \\ \end{array} \)
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Hier bis \(x=60\) dargestellt:
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Mit \(P_{n;p}(x=k)\) erhalten wir
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\( \quad \begin{array}{ r c l } P_{550 \; ; \; 0{,}06}(40 < x \leq 50) & = & P(40 < x \leq 50) \\[6pt] & = & P(41 \leq x \leq 50) \\[6pt] & = & P(x \leq 50) - P(x \leq 40) \\[6pt] & = & 0{,}9984 - 0.9080 \\[6pt] & = & 0{,}0904 \\[6pt] & = & 9{,}04\% \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Erwartungswert
Der Erwartungswert ist
\( \quad \begin{array}{ r c l } \mu & = & n \cdot p \\[6pt] & = & 550 \cdot 0{,}06 \\[6pt] & = & 33\\ \end{array} \)
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Wir berechnen also
\( \quad P(x < 33) = P(x \leq 32) = 0{,}4747 = 47{,}47 \, \% \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Ereignis A
Mit
\( \quad P( x = k ) = \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{c} n \\ k\end{array} \right)\end{smallmatrix} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k} \)
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und
\( \quad \begin{array}{ l } n = 550 \\[6pt] p = 0{,}06 \\[6pt] k = 0 \\ \end{array} \)
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erhalten wir
\( \quad \begin{array}{ r c l } P( x = 0 ) & = & \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{c} 550 \\ 0\end{array} \right)\end{smallmatrix} \cdot 0{,}06^{0} \cdot (1-0{,}06)^{550-0} \\[10pt] & = & 1 \cdot 1 \cdot 0{,}94^{550} \\[8pt] & = & 0{,}94^{550} \\ \end{array} \)
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Das Ereignis \(A\) besagt, dass \(0\) von den \(550\) Personen mit einem \(S\) markiert sind. Oder anders ausgedrückt:
Alle \(550\) Personen haben vorher noch nie die Reise mit dem Ausflugsschiff gebucht.
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