HMF 8 - Lösung

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Aufgabe 1 – Zufallsgröße X

Der Erwartungswert \(E(X)\) wird berechnet mit

\( \quad E( X) = P(X=x_1) \cdot x_1 + P(X=x_2) \cdot x_2 + P(X=x_3) \cdot x_3 \\ \)

und ermitteln

\( \quad P(X=x_3)=P(X=5) \\ \)

mit

\( \quad \begin{align} P(X=5) & = 1 - \Big( ( P(X=3) + P(X=4) \Big) \\[6pt] P(X=5) & = 1 - P(X=3) - P(X=4) \\[6pt] P(X=5) & = 1 - \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{4} \\[6pt] P(X=5) & = \tfrac{12}{12} - \tfrac{4}{12} - \tfrac{3}{12} \\[6pt] P(X=5) & = \tfrac{12 - 4 - 3}{12} \\[6pt] P(X=5) & = \tfrac{5}{12} \end{align} \\ \)

Es folgt

\( \quad \begin{align} E( X) & = P(X=3) \cdot 3 + P(X=4) \cdot 4 + P(X=5) \cdot 5 \\[6pt] E( X) & = \tfrac{1}{3} \cdot 3 + \tfrac{1}{4} \cdot 4 + \tfrac{5}{12} \cdot 5 \\[6pt] E( X) & = \tfrac{3}{3} + \tfrac{4}{4} + \tfrac{25}{12} \\[6pt] E( X) & = \tfrac{12}{12} + \tfrac{12}{12} + \tfrac{25}{12} \\[6pt] E( X) & = \tfrac{49}{12} \\[6pt] E( X) & = 4 \tfrac{1}{12} \end{align} \)

\(\\[1em]\)

Aufgabe 2 – Zufallsgröße Y

Falls \(P(Y=4)=\frac{1}{6}\) ist, so ergibt sich

\( \quad \begin{align} P(Y=5) & = 1 - \Big( ( P(Y=3) + P(Y=4) \Big) \\[6pt] P(Y=5) & = 1 - \Big( \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{6} \Big) \\[6pt] P(Y=5) & = 1 - \Big( \tfrac{2}{6} + \tfrac{1}{6} \Big) \\[6pt] P(Y=5) & = 1 - \tfrac{3}{6} \\[6pt] P(Y=5) & = 1 - \tfrac{1}{2} \\[6pt] P(Y=5) & = \tfrac{1}{2} \end{align} \\ \)

Entsprechend erhalten wir für \(P(Y=5)=\frac{1}{6}\) die Wahrscheinlichkeit \(P(Y=4)=\frac{1}{2}\).

Beide Wahrscheinlichkeiten sind also mindestens \(\frac{1}{6}\) und höchsten \(\frac{1}{2}\) groß, wobei die eine Wahrscheinlichkeit kleiner wird, wenn die andere größer wird.

Mit der Rechnung

\( \quad E( X) = P(X=3) \cdot 3 + P(X=4) \cdot 4 + P(X=5) \cdot 5 \\ \)

können wir leicht erkennen, dass wir den größten Erwartungswert mit

\( \quad P(Y=5)=\frac{1}{2} \\ \)

und den kleinsten Erwartungswert mit

\( \quad P(Y=5)=\frac{1}{6} \\ \)

erhalten.

Die beiden Erwartungswerte lauten

\( \quad \begin{align} E( X) & = \tfrac{1}{3} \cdot 3 + \tfrac{1}{2} \cdot 4 + \tfrac{1}{6} \cdot 5 \\[6pt] E( X) & = 1 + 2 + \tfrac{5}{6} \\[6pt] E( X) & = 3 \tfrac{5}{6} \\[6pt] E( X) & = \tfrac{23}{6} \end{align} \\ \)

und

\( \quad \begin{align} E( X) & = \tfrac{1}{3} \cdot 3 + \tfrac{1}{6} \cdot 4 + \tfrac{1}{2} \cdot 5 \\[6pt] E( X) & = \tfrac{3}{3} + \tfrac{4}{6} + \tfrac{5}{2} \\[6pt] E( X) & = \tfrac{6}{6} + \tfrac{4}{6} + \tfrac{15}{6} \\[6pt] E( X) & = \tfrac{25}{6} \end{align} \\ \)

Für den Erwartungswert gilt folglich

\( \quad 3 \tfrac{5}{6} = \tfrac{23}{6} \leq E(X) \leq \tfrac{25}{6} = 4 \tfrac{1}{6} \)

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