Aufgaben

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“Küstenlinie”

Für den Beginn des Jahres \(2020\) modelliert der Graph der Funktion \(f\) mit

\( \quad f(x) \; = \; 5x \cdot e^{-x} + 1 \quad \textrm{und} \quad x \in [0;8] \)

einen Teil der Küstenlinie, die das Land vom Meer trennt. Die \(x\)-Achse beschreibt eine Straße in West-Ost-Richtung. Die Fläche zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse stellt das Land nördlich der Straße dar. Bei \(L(0{,}5 | 1{,}5)\) steht ein Leuchtturm.

Eine Längeneinheit entspricht \(100 \; m\) in der Wirklichkeit.

\(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) Abbildung ausdrucken

\(\\[1em]\)

Abbildung

1. Zeichnen Sie den Punkt \(L\) in die Abbildung ein.
   Berechnen Sie die \(y\)-Koordinate des Punktes der Küstenlinie an der Stelle \(x=0{,}5\).

   (2 P)

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2. Zeichnen Sie die Tangente an den Graphen \(f\) an der Stelle \(x=2\) in die Abbildung ein, und bestimmen Sie deren Steigung.

   (2 P)

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3. Es gibt auf dem betrachteten Teil der Küstenlinie Punkte, deren Abstand von der Straße \(200 \; m\) beträgt.
   Zeichnen Sie die entsprechende Punkte in die Abbildung ein.
   Berechnen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

   (3 P)

Lösung

\(\\[1em]\)

Küstenlinie

1. Berechnen Sie die Koordinaten des nördlichsten Punkts auf dem betrachteten Teil der Küstenlinie.

\(\qquad \big[\textrm{Zur Kontrolle: } \; f'(x) \; = \; 5 e^{-x} \cdot (1 - x) \big]\)

(5 P)

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2. Bestimmen Sie alle Stellen \(x \in [0;8]\), für die \(f''(x) \; = \; 0\) gilt.

   (3 P)

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3. Berechnen Sie den mittleren Abstand der Punkte des betrachteten Teil der Küstenlinie zur Straße in Metern.

   (3 P)

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4. Bestimmen Sie mittels Integration einen Funktionsterm für eine Stammfunktion \(F\) von \(f\).

   (4 P)

Lösung

\(\\[1em]\)

Änderung der Küstenlinie

Der betrachtete Teil der Küstenlinie wird sich im Laufe der Jahre verändern. In einem Rechenmodell wird der künftige Verlauf für \(a \geq 20\) durch die Funktion \(f_a\) mit

\( \quad f_a(x) \; = \; 5x \cdot e^{-0{,}05 a \cdot x} + 1 \quad \textrm{und} \quad x \in [0;8] \)

\(\\\)
modelliert. Der Wert von \(a\) gibt an, wie viele Jahre seit Beginn des Jahres \(2000\) vergangen sind. Also entspricht \(a = 20\) dem Beginn des Jahres \(2020\) .

\(\\\)

1. Berechnen Sie, in welchem Jahr der Leuchtturm auf der Küstenlinie stehen wird.

   (3 P)

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Für jedes \(a\) hat der Graph der Funktion \(f_a\) einen Hochpunkt an der Stelle \(x = \frac{20}{a}\). Dieser Hochpunkt beschreibt den nördlichsten Punkt der jeweiligen Küstenlinie.

2. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ortskurve, auf der die Hochpunkte liegen.

   (3 P)

\(\\\)

3. Vom Leuchtturm aus führt ein Weg genau in Nordrichtung. Zu einem bestimmten Zeitpunkt endet dieser Weg am nördlichsten Punkt der Küstenlinie. Bestimmen Sie die Länge des Weges zu diesem Zeitpunkt.

   (3 P)

Lösung

\(\\[2em]\)

Landfläche

1. Berechnen Sie den Inhalt der Landfläche zwischen der Küstenlinie und der Straße im Intervall \([0;8]\) zu Beginn des Jahres \(2150\).
   Begründen Sie, dass der Inhalt der Landfläche auch in allen Jahren nach \(2150\) größer als \(8\) Hektar sein wird.

   (4 P)

\(\\\)

2. Es gibt genau eine Wert \(a\geq 20\), der die folgende Gleichung erfüllt:

\( \qquad \displaystyle{\int}_0^8 \Big( 5x \cdot e^{-0{,}05 a \cdot x} + 1 \Big) dx \; = \; 0{,}8 \cdot \displaystyle{\int}_0^8 \Big( 5x \cdot e^{- x} + 1 \Big) dx \)

Interpretieren Sie die Bedeutung dieses Wertes \(a\) im Sachzusammenhang.

(2 P)

\(\\\)

3. Bestimmen Sie alle reellen Zahlen \(a\), für die \(f_a(x) < f(x)\) für \(0 < x \leq 8\) gilt.

   (3 P)

Lösung

\(\\[2em]\)