farbige Federn

Inhaltsverzeichnis

\(\\\)

Aufgabe 1 – 10 rote Federn

Es ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitskette:

\( \quad \begin{array}{ r c l } P(x=10) & =& \frac{17}{20} \cdot \frac{16}{19} \cdot \frac{15}{18} \cdot \frac{14}{17} \cdot \frac{13}{16} \cdot \frac{12}{15} \cdot \frac{11}{14} \cdot \frac{10}{13} \cdot \frac{9}{12} \cdot \frac{8}{11} \\[10pt] & =& \frac{ \color{#CC0000}{17} \; \cdot \; \color{#CC0000}{16} \; \cdot \; \color{#CC0000}{15} \; \cdot \; \color{#CC0000}{14} \; \cdot \; \color{#CC0000}{13} \; \cdot \; \color{#CC0000}{12} \; \cdot \; \color{#CC0000}{11} \; \cdot \; 10 \; \cdot \; 9 \; \cdot \; 8 } { 20 \; \cdot \; 19 \; \cdot \; 18 \; \cdot \; \color{#CC0000}{17} \; \cdot \; \color{#CC0000}{16} \; \cdot \; \color{#CC0000}{15} \; \cdot \; \color{#CC0000}{14} \; \cdot \; \color{#CC0000}{13} \; \cdot \; \color{#CC0000}{12} \; \cdot \; \color{#CC0000}{11} } \\[10pt] & =& \frac{10 \; \cdot \; 9 \; \cdot \; 8}{20 \; \cdot \; 19 \; \cdot \; 18} \\[10pt] & =& \frac{2}{19} \; \approx \; 0{,}1053 \\ \end{array} \)

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 – mindestens einen Pfeil jeder Federnfarbe

Hier verwenden wir die hypergeometrische Verteilung mit den Bezeichnungen

\( \begin{array}{ r c l } R & : & \textrm{alle roten Pfeile} \\[6pt] r & : & \textrm{gezogene rote Pfeile} \\[6pt] B & : & \textrm{alle blauen Pfeile} \\[6pt] b & : & \textrm{gezogene blaue Pfeile} \\[6pt] G & : & \textrm{alle goldenen Pfeile} \\[6pt] g & : & \textrm{gezogene goldene Pfeile} \\[6pt] N & : & \textrm{alle Pfeile} \\[6pt] n & : & \textrm{alle gezogenen Pfeile} \\ \end{array} \)

\(\\\)

in folgender Notation:

\( \quad \displaystyle{P(E) \; =\; \dfrac{\binom{R}{r} \cdot \binom{B}{b} \cdot \binom{G}{g}}{\binom{N}{n}} } \)

\(\\\)

Für das Ereignis \(E\) sind nur 2 Fälle möglich:

\(\\\)

\( \quad \displaystyle{P(E) \; =\; \frac{\binom{17}{8} \cdot \binom{2}{1} \cdot \binom{1}{1}}{\binom{20}{10}} \; +\; \frac{\binom{17}{7} \cdot \binom{2}{2} \cdot \binom{1}{1}}{\binom{20}{10}} \; =\; \frac{7}{19} \; \approx \; 0{,}3684 } \)

\(\\\)