Nullstellen zusammengesetzter Funktionen
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
Eine zusammengesetzte Funktion kann beispielsweise dieses Aussehen haben:
\(\quad f(x) \; = \; 2x \cdot e^{-2x^2 + 4} + (x^2 + 3) \cdot \left( -4x \cdot e^{-2x^2 + 4} \right) \)
\(\\\)
Mit der Nullstellenberechnung gilt nun
\(\quad 0 \; = \; 2x \cdot e^{-2x^2 + 4} + \left( x^2 + 3 \right) \cdot \left( -4x \cdot e^{-2x^2 + 4} \right) \)
\(\\\)
Wir lösen dies nun mithilfe des Nullproduktes.
Dazu gehen wir in mehreren Schritten vor.
\(\\[1em]\)
e-Term isolieren
Es ist zu erkennen, das der Term
\(\quad e^{-2x^2 + 4} \)
\(\\\)
zweifach vorkommt. Wir isolieren ihn im hinteren Teil der Gleichung, indem wir die \(-4x\) mit der Klammer davor ausmultiplizieren.
\(\quad 0 \; = \; 2x \cdot e^{-2x^2 + 4} + \left( -4x^3 - 12x \right) \cdot e^{-2x^2 + 4} \)
\(\\[1em]\)
e-Term ausklammern
Nun klammern wir den Term
\(\quad e^{-2x^2 + 4} \)
aus.
\(\quad \begin{array}{ r c l } 0 & = & \Big( 2x + \left( -4x^3 - 12x \right) \Big) \cdot e^{-2x^2 + 4} \\[6pt] 0 & = & \left( 2x - 4x^3 - 12x \right) \cdot e^{-2x^2 + 4} \\[6pt] 0 & = & \left( -4x^3 - 10x \right) \cdot e^{-2x^2 + 4} \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
Nullprodukt anwenden
Eine Gleichung
\(\quad 0 \; = \; \left( -4x^3 - 10x \right) \cdot e^{-2x^2 + 4} \)
\(\\\)
ist nur lösbar, wenn
\(\quad -4x^3 - 10x \; = \; 0 \)
oder
\(\quad e^{-2x^2 + 4} \; = \; 0 \)
\(\\\)
ist. Da nun
\(\quad e^{g(x)} \)
\(\\\)
nie Null sein kann mit \(g(x)\) als eine ganz-rationale Funktion, sagen wir
\(\quad e^{-2x^2 + 4} \; \not= \; 0 \)
\(\\\)
Es bleibt als Lösungsansatz
\(\quad 0 \; = \; -4x^3 - 10x \)
\(\\\)
Hier klammern wir erneut aus, nämlich das \(x\) .
\(\quad 0 \; = \; x \cdot \left(-4x^2 - 10 \right) \)
\(\\\)
Wir wenden erneut das Nullprodukt an
-
\(x \; = \; 0\)
-
\(0 \; = \; -4x^2 - 10 \; \rightarrow\) Diese Gleichung ist jedoch nicht lösbar.
\(\\\)
Es verbleibt die Lösung \(x = 0\) .
\(\\[1em]\)