Nullstellen zusammengesetzter Funktionen


\(\\\)

Eine zusammengesetzte Funktion kann beispielsweise dieses Aussehen haben:

\(\quad f(x) \; = \; 2x \cdot e^{-2x^2 + 4} + (x^2 + 3) \cdot \left( -4x \cdot e^{-2x^2 + 4} \right) \)

\(\\\)

Mit der Nullstellenberechnung gilt nun

\(\quad 0 \; = \; 2x \cdot e^{-2x^2 + 4} + \left( x^2 + 3 \right) \cdot \left( -4x \cdot e^{-2x^2 + 4} \right) \)

\(\\\)

Wir lösen dies nun mithilfe des Nullproduktes.

Dazu gehen wir in mehreren Schritten vor.

\(\\[1em]\)

e-Term isolieren

Es ist zu erkennen, das der Term

\(\quad e^{-2x^2 + 4} \)

\(\\\)

zweifach vorkommt. Wir isolieren ihn im hinteren Teil der Gleichung, indem wir die \(-4x\) mit der Klammer davor ausmultiplizieren.

\(\quad 0 \; = \; 2x \cdot e^{-2x^2 + 4} + \left( -4x^3 - 12x \right) \cdot e^{-2x^2 + 4} \)

\(\\[1em]\)

e-Term ausklammern

Nun klammern wir den Term

\(\quad e^{-2x^2 + 4} \)

aus.

\(\quad \begin{array}{ r c l } 0 & = & \Big( 2x + \left( -4x^3 - 12x \right) \Big) \cdot e^{-2x^2 + 4} \\[6pt] 0 & = & \left( 2x - 4x^3 - 12x \right) \cdot e^{-2x^2 + 4} \\[6pt] 0 & = & \left( -4x^3 - 10x \right) \cdot e^{-2x^2 + 4} \\ \end{array} \)

\(\\[1em]\)

Nullprodukt anwenden

Eine Gleichung

\(\quad 0 \; = \; \left( -4x^3 - 10x \right) \cdot e^{-2x^2 + 4} \)

\(\\\)

ist nur lösbar, wenn

\(\quad -4x^3 - 10x \; = \; 0 \)

oder

\(\quad e^{-2x^2 + 4} \; = \; 0 \)

\(\\\)

ist. Da nun

\(\quad e^{g(x)} \)

\(\\\)

nie Null sein kann mit \(g(x)\) als eine ganz-rationale Funktion, sagen wir

\(\quad e^{-2x^2 + 4} \; \not= \; 0 \)

\(\\\)

Es bleibt als Lösungsansatz

\(\quad 0 \; = \; -4x^3 - 10x \)

\(\\\)

Hier klammern wir erneut aus, nämlich das \(x\) .

\(\quad 0 \; = \; x \cdot \left(-4x^2 - 10 \right) \)

\(\\\)

Wir wenden erneut das Nullprodukt an

  1. \(x \; = \; 0\)

  2. \(0 \; = \; -4x^2 - 10 \; \rightarrow\) Diese Gleichung ist jedoch nicht lösbar.

\(\\\)

Es verbleibt die Lösung \(x = 0\) .

\(\\[1em]\)