Nullstellen zusammengesetzter Funktionen
Inhaltsverzeichnis
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Ganzrationale Funktionen können mit anderen Funktionstypen wie e-Funktionen, trigonometrische Funktionen (Sinus, Kosinus) oder Wurzelfunktionen zusammengesetzt sein. Dabei liegen diese zusammengesetzten Funktionen als
- verkettete Funktion
- Summenfunktion
- Produktfunktion
vor. Betrachtet werden hier exemplarisch verschiedene Funktionstypen mit ihren Lösungen, Lösungsansätzen oder Erklärungen, warum eine Lösung nicht gegeben ist.
Veranschaulicht ist dies anhand von ganzrationalen Funktionen mit Wurzelfunktionen, Logarithmusfunktionen oder e-Funktionen.
\(\\[1em]\)
1. Verkettungen verschiedener Funktionstypen
Von den verketteten Funktionen greife ich hier nun 5 Beispiele auf. Ich gehe hier über die Nullstellenberechnung hinaus auch auf den Charakter der einzelnen Graphen ein.
\(\\[1em]\)
Verkettung mit einer Wurzelfunktion
Nullstellenberechnungen von verketteten Funktionen kommen zum Beispiel bei Wurzelfunktionen zur Anwendung.
\( \quad f(x) = \sqrt{x^2+x-6} \)
\(\\\)
Wir haben hier nun eine Funktion \(f\) von der Form
\( \quad f(x) = g\big(h(x)\big) \)
\(\\\)
Dabei ist
\( \quad g(x) = \sqrt{x} \)
und
\( \quad h(x) = x^2+x-6 \)
\(\\\)
Von wesentlicher Bedeutung ist der Definitionsbereich der Funktionen \(g\) und \(h\) ; nicht zwangsläufig für die Nullstellen, aber doch für das Aussehen des Graphen von \(f\).
Für Funktion \(h\) gilt, dass \(x\) für alle reellen Zahlen definiert ist und macht deshalb keine Schwierigkeiten. Hingegen bei der Wurzelfunktion \(g\) gilt, dass \(x \geq 0\) sein muss für den Bereich der reellen Zahlen. \(g(0)\) ist demnach erlaubt. Es genügt also für die Nullstellen von \(f\), wenn die Nullstellen von \(h\) berechnet werden mit
\( \quad 0 = x^2+x-6 \)
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Wir können das nun lösen mit der PQ-Formel oder auch mit dem Satz des Viëta. Nach dem Satz des Viëta ist
\(\quad \begin{array}{ r c r } x_1 & = & 2 \\[6pt] x_2 & = & -3 \\ \end{array} \)
\(\\\)
eine Lösung, denn es ist
\( \quad \begin{array}{ r c c c r } p & = & -(x_1+ x_2) \\[6pt] p & = & -(2 - 3) & = & 1 \\ \end{array} \)
\(\\\)
und
\( \quad \begin{array}{ r c l c l } q & = & x_1 \cdot x_2 \\[6pt] q & = & 2 \cdot (-3) & = & -6 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Für die Funktion
\( \quad f(x) = \sqrt{x} \)
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darf die Funktion \(h\) keine negativen Werte haben. An den Nullstellen, sofern sie keine Extrempunkte sind, was bei einer Parabel mit zwei Nullstellen ja gegeben ist, wechselt der Graph von den positiven Bereich in den negativen Bereich oder auch umgekehrt.
Für den Graphen von \(h\) sind die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ, denn der Graph stellt eine nach oben geöffnete Parabel dar.
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Das heißt, dass der Definitionsbereich von \(f\)
\( \quad \mathbb{D} \; = \; \big\{ x \in \mathbb{R} \; | \; \{x \leq -3\} \; \cup \; \{x \geq 2\} \big\} \)
\(\\\) lauten muss. Daraus ergibt sich der folgende Graph der Wurzelfunktion von \(f\) :
\(\\[2em]\)
Verkettung mit einer Logarithmusfunktion (Beispiel 1)
Verknüpft man hingegen die Funktion \(h\)
\( \quad h(x) = x^2+x-6 \)
\(\\\)
mit einer Logarithmusfunktion
\( \quad g(x) = ln(x) \)
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in der Art
\( \quad f(x) = ln(x^2+x-6) \)
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so ist
\( \quad x^2+x-6 = 0 \)
\(\\\)
nicht definiert. Denn bei Logarithmusfunktionen gilt, dass \(x>0\) ist. Das heißt, dass für die Funktion \(f(x) = g\big(h(x)\big)\) stets
\( \quad x^2+x-6 > 0 \)
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sein muss. Zur Nullstellenberechnung gehen wir nun folgendermaßen vor:
\( \quad \begin{array}{ r c l c l } f(x) & = & 0 \\[6pt] ln(x^2+x-6) & = & 0 & \bigl| \; e^{(\dots)} \\[8pt] \displaystyle{e^{ln(x^2+x-6)}} & = & e^{0} \\ \end{array} \)
\(\\\)
Mit \(e^{ln(x)}=x\) und der Potenzregel \(a^{0}=1\) folgt
\( \quad \begin{array}{ r c l c l } x^2+x-6 & = & 1 & | -1 \\[6pt] x^2+x-7 & = & 0 & \\[6pt] \end{array} \)
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Wir lösen mit der PQ-Formel:
\( \quad \begin{array}{ r c l } x_{1,2} & = & -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[12pt] x_{1,2} & = & -\frac{1}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-(-7)} \\[12pt] x_{1,2} & = & -\frac{1}{2}\pm \sqrt{7\frac{1}{4}} \\[16pt] x_{1} & \approx & \; \; 2{,}1926 \\[6pt] x_{2} & \approx & - 3{,}1926 \\ \end{array} \)
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Analog zum vorherigen Beispiel gilt der Definitionsbereich von \(f\) mit
\( \quad \mathbb{D} \; = \; \big\{ x \in \mathbb{R} | x < -3 \; \cup \; x > 2 \big\} \)
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\(x=-3\) und \(x=2\) sind dieses Mal also ausgeschlossen.
Es ergibt sich der Graph von \(f\):
\(\\[2em]\)
Verkettung mit einer Logarithmusfunktion (Beispiel 2)
Erweitern wir nun die Funktion \(f\) mit
\( \quad f(x) = g\big(h(x)\big) = ln(x^2+x-6) \)
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so, dass auch negative Funktionswerte für \(h(x)\) erlaubt sind. Wir nehmen die neue Funktion \(f\)
\( \quad f(x) = ln|x^2+x-6| \)
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Nach wie vor gilt \(x \not= -3\) und \(x \not= 2\). Die Nullstellenberechnung lautet nun
\( \quad \begin{array}{ r c l l } f(x) & = & 0 \\[6pt] ln|x^2+x-6| & = & 0 & \bigl| \; e^{(\dots)} \\[8pt] \displaystyle{e^{ln|x^2+x-6|}} & = & e^{0} & \quad \rightarrow \; e^{(\dots)} \; \; \text{und} \; \; ln(\dots) \; \text{heben sich gegenseitig auf}\\[6pt] |x^2+x-6| & = & 1 \\ \end{array} \)
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Des Betrages wegen müssen wir eine Fallunterscheidung vornehmen.
\(\\[1em]\)
Fall 1
\( \quad \begin{array}{ r c l c l } x^2+x-6 & = & 1 & | -1 \\[6pt] x^2+x-7 & = & 0 & \\[12pt] x_{1} & \approx & \; \; 2{,}1926 \\[6pt] x_{2} & \approx & - 3{,}1926 \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Fall 2
\( \quad \begin{array}{ r c l c l } -(x^2 + x- 6) & = & 1 & \\[6pt] -x^2 - x + 6 & = & 1 & | -1 \\[6pt] -x^2 - x + 5 & = & 0 & \\[12pt] x_{3} & \approx & \; \; 1{,}7913 \\[6pt] x_{4} & \approx & - 2{,}7913 \\ \end{array} \)
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Es ergibt sich nun der folgende Graph:
\(\\[2em]\)
Verkettung mit einer e-Funktion 1
Die Verkettung einer ganzrationalen Funktion mit einer e-Funktion ist wohl der am häufigsten anzutreffende Typ einer Verkettung. Als Beispiel nehmen wir wieder die Funktion \(h\) mit der Funktion \(g\) mit
\( \quad g(x) = e^x \)
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Damit ist \(f\)
\( \quad f(x) = g\big(h(x)\big) = e^{x^2+x-6} \)
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\(g(x)=e^x\) ist stets größer als Null für alle \(x\)-Werte zwischen \(-\infty\) und \(+\infty\).
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Folglich ist auch \(f\) mit
\( \quad f(x) = e^{x^2+x-6} \)
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stets größer als Null und hat keine Nullstellen.
\(\\[2em]\)
Verkettung mit einer e-Funktion 2
In diesem Beispiel bilden wir die Verkettung der beiden Funktionen
\( \quad g(x) = e^x \)
und
\( \quad h(x) = x^2+x-6 \)
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andersherum, also
\( \quad f(x) = h\big(g(x)\big) = \left(e^{x^2+x-6}\right)^2 + e^{x^2+x-6} - 6 \)
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Wir berechnen die Nullstellen mit
\( \quad \begin{array}{ r c l } f(x) & = & 0 \\[6pt] 0 & = & \left(e^{x^2+x-6}\right)^2 + e^{x^2+x-6} - 6 \\ \end{array} \)
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Wir lösen dies mit der Substitution
\( \quad z = e^{x^2+x-6} \)
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und weiter mit der PQ-Formel.
\( \quad \begin{array}{ r c l } 0 & = & z^2 + z - 6 \\[16pt] z_{1,2} & = & -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[12pt] z_{1,2} & = & -\frac{1}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-(-6)} \\[12pt] z_{1,2} & = & -\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4} + 6} \\[12pt] z_{1,2} & = & -\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{24}{4}} \\[12pt] z_{1,2} & = & -\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{25}{4}} \\[12pt] z_{1,2} & = & -\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} \\[12pt] z_{1,2} & = & -\frac{1}{2}\pm \frac{5}{2} \\[16pt] z_{1} & = & - 3 \\[6pt] z_{2} & = & \; \; 2 \\ \end{array} \)
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Wir führen die Resubstitution durch:
\( \quad \begin{array}{ r c l l } e^{x^2+x-6} & = & z \\[12pt] e^{x^2+x-6} & = & -3 & \bigl| \; ln(\dots) \\[6pt] ln\left(e^{x^2+x-6}\right) & = & ln(-3) \\ \end{array} \)
\(\\\)
\(ln(-3)\) ist nicht definiert, denn für alle \(x\) von \(ln(x)\) gilt \(x>0\). Hier es also keine Lösung, also auch keine Nullstellen.
\( \quad \begin{array}{ r c l l } e^{x^2+x-6} & = & 2 & \bigl| \; ln(\dots) \\[6pt] ln\left(e^{x^2+x-6}\right) & = & ln(2) \\[6pt] x^2+x-6 & = & ln(2) & \bigl| \; - ln(2) \\[6pt] x^2+x-6- ln(2) & = & 0 & \\ \end{array} \)
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Mit der PQ-Formel erhalten wir hier
\( \quad \begin{array}{ r c l } x_1 & \approx & 2{,}135 \\[6pt] x_2 & \approx & -3{,}135 \\ \end{array} \)
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Graph:
\(\\[2em]\)
2. Produktfunktion verschiedener Funktionstypen
Besteht eine zusammengesetzte Funktion aus einem Produkt von mehreren Funktionen wie dieses Beispiel,
\( \quad 0 = 10x \cdot \left( 1 + x^3 \right) \cdot e^{\frac{2}{3}x^3} \)
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so können wir die Nullstellen mit der Regel Nullprodukt berechnen.
\( \quad 10x=0 \quad \text{und} \quad 1 + x^3 = 0 \quad \text{und} \quad e^{\frac{2}{3}x^3} = 0 \)
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\(e^{\frac{2}{3}x^3} \not=0\), denn für alle \(x\) ist \(e^{\frac{2}{3}x^3}\) stets positiv. Es bleiben noch folgende Fälle zu betrachten:
\( \quad \begin{array}{ r r c l l } \text{1. Fall:} & 10x & = & 0 & | : 10\\[6pt] & x_1 & = & 0 & \\[16pt] \text{2. Fall:} & 1 + x^3 & = & 0 & | -1 \\[6pt] & x^3 & = & -1 & \Bigl| \sqrt[3]{\dots} \\[6pt] & x_2 & = & -1 & \\ \end{array} \)
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\(\\[2em]\)
3. Summenfunktion verschiedener Funktionstypen
Es folgen einige Beispiele mit Lösungsansätzen, Wege der Lösbarkeit von Nullstellen aber auch den Problemen zur Bestimmung der Lösbarkeit von denselben.
\(\\[1em]\)
Summenfunktion mit einer e-Funktion (Beispiel 1)
Nullstellen von Summenfunktionen in der Art
\( \quad f(x) = e^x - x + 2 \)
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führen beim herkömmlichen Ansatz
\( \quad \begin{array}{ r c l } f(x) & = & 0 \\[6pt] 0 & = & e^x - x + 2 \\ \end{array} \)
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oft ins Leere, denn sie können mit den herkömmlichen Verfahren wie Ausklammern, Substitution oder Polynomdivision nicht berechnet werden. Hier benötigen wir ein Näherungsverfahren. Ob der Aufwand sich lohnt, kann mit einem graphischen Lösungsansatz abgeschätzt werden.
Stellen wir die Gleichung um,
\( \quad \begin{array}{ r c l l } 0 & = & e^x - x + 2 & \bigl| \; + x \\[6pt] x & = & e^x + 2 & \bigl| \; - 2 \\[6pt] x - 2 & = & e^x \\ \end{array} \)
\(\\\)
so ergibt sich eine Schnittpunktberechnung
\( \quad g(x) = h(x) \)
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von einer linearen Funktion \(g\) und einer \(e\)-Funktion \(h\) mit
\( \quad \begin{array}{ r c l l } g(x) & = & x - 2 \\[6pt] h(x) & = & e^x \\ \end{array} \)
\(\\\)
Wir stellen die Graphen der beiden Funktionen skizzenhaft dar.
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Es ist leicht zu erkennen, dass die Funktionen \(g\) und \(h\) keinen Schnittpunkt haben können. Demnach ist eine Nullstelle der Funktion \(f\) nicht gegeben.
\(\\[2em]\)
Summenfunktion mit einer e-Funktion (Beispiel 2)
Betrachten wir dagegen die Funktion \(f\) mit
\( \quad f(x) = e^x + x - 2 \)
\(\\\)
so können wir erkennen,
\( \quad \begin{array}{ r c l l } 0 & = & e^x + x - 2 & \bigl| \; - x \\[6pt] -x & = & e^x - 2 & \bigl| \; + 2 \\[6pt] x + 2 & = & e^x \\ \end{array} \)
\(\\\)
dass wir es hier mit dem Funktionen
\( \quad \begin{array}{ r c l l } g(x) & = & - x + 2 \\[6pt] h(x) & = & e^x \\ \end{array} \)
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zu tun haben. Als Graphen:
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Dieses Mal ist zu erkennen, dass es einen Schnittpunkt gibt, und zwar genau einen Schnittpunkt. Denn die lineare Funktion ist streng monoton fallend und die \(e\)-Funktion ist streng monoton steigend. Damit sind weitere Schnittpunkte ausgeschlossen. Es gibt also nur eine Nullstelle für \(f\).
Die Schnittstelle scheint ungefähr bei \(x=0{,}5\) zu liegen.
Wir berechnen Die Nullstelle mit einem Näherungsverfahren, zum Beispiel mit dem Newton-Verfahren. Dabei nehmen wir die Stelle \(x=0{,}5\) als Startwert.
Es gilt
\( \quad x_{neu} = x_{alt} - \frac{f(x_{alt})}{f'(x_{alt})} \)
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und
\( \quad \begin{array}{ r c l } f(x) & = & e^x + x - 2 \\[6pt] f'(x) & = & e^x + 1 \\ \end{array} \)
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\(\\\)
Wir sind auf 5 Nachkommastellen genau bei Null angelangt und nehmen als Nullstelle \(x=0{,}442854\).