Glukosewerte
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
Aufgabe 1 – Glukosewerte über 170 mg/dl
\(\\\) Der Glukosewert lag von \(170\) Minuten bis \(222\) Minuten nach Beobachtungsbeginn über \(170 \; \frac{mg}{dl}\). Das sind
\( \quad 222 - 170 = 52 \)
Minuten.
\(\\[1em]\)
Aufgabe 2 – größte Steigung
Der stärkste Anstieg liegt bei Funktionen generell im Wendepunkt, für den die notwendige Bedingung gilt, dass
\( \quad f''(x) = 0 \)
ist.
images-cas1-2018-screenshots-ti-nspire/abi2018_cas1_tinspire_glukosewerte_aufgabe2_screenshot1.webp \( \quad \begin{array}{ r l } x_1 & = \frac{-20 \left( \sqrt{61}-16 \right)}{3} \approx 54{,}5983 \\[10pt] x_2 & = \frac{20 \left( \sqrt{61}+16 \right)}{3} \approx 158{,}735 \\ \end{array} \)
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Wir überprüfen die Werte mit der hinreichenden Bedingungen
\( \quad f'''(x) \not= 0 \)
\(\\\) und definieren die 3. Ableitung
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Wir berechnen weiter die 3. Ableitung der Werte.
\( \quad \left. \begin{array}{ r c r c l } \frac{\sqrt{61}}{6250} & = & 0{,}00125 & \not= & 0 \\[10pt] \frac{-\sqrt{61}}{6250} & = & -0{,}00125 & \not= & 0 \\ \end{array} \right\} \quad \Rightarrow \quad \text{Es liegen Wendepunkte vor.} \)
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Die Steigung bestimmen wir mit der 1. Ableitung von \(f\) , wobei wir bei einer Funktion, die in einem bestimmen Intervall betrachtet wird \((0 \leq x \leq 240)\) , auch die Randpunkte überprüfen müssen. Denn es könnte sein, dass im Start- oder Endpunkt eine größere Steigung als im Wendepunkt vorliegt.
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\(\quad \left. \begin{array}{ r c c c c } f'(0) & = & \frac{8}{5}& = & 1{,}6 \\[8pt] f'\left(\frac{-20 \cdot \big( \sqrt{61}-16 \big)}{3} \right) & = & \frac{728}{3375} - \frac{488 \cdot \sqrt{61}}{3375} & \approx & -0{,}9136 \\[8pt] f'\left(\frac{20 \cdot \big( \sqrt{61} + 16 \big)}{3} \right) & = & \frac{488 \cdot \sqrt{61}}{3375} + \frac{728}{3375} & \approx & 1{,}345 \\[8pt] f'(240) & = & \frac{-616}{125}& = & -4{,}928 \\ \end{array} \right\} \quad \Rightarrow \quad \text{maximale Steigung bei } \; x = 0 \)
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Der Glukosewert steigt bei Beobachtungsbeginn am stärksten an.
\(\\[1em]\)
Aufgabe 3 – momentane Änderungsrate
Die momentane Änderungsrate, also quasi die Tangentensteigung an dem Graphen der Funktion \(f\), wird mit der 1. Ableitung berechnet.
Wir setzen also
\( \quad f'(x) = -0{,}3 \quad und \quad f'(x) = 0{,}3 \)
in die 1. Ableitung ein:
\(\\\) Der gesamte Zeitraum, indem die momentane Änderungsrate zwischen \(-0{,}3 \; \frac{mg}{dl}\) pro Minute und \(0{,}3 \; \frac{mg}{dl}\) pro Minute lag, berechnet sich wie folgt:
\( \quad (25{,}8027-15{,}213) + (109{,}26-90{,}2735) + (203{,}924-195{,}527) = 37{,}9732 \)
\(\\\) Der Zeitraum betrug also ca. 38 Minuten.
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