Untersuchung der Kontur
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
Aufgabe 1 – Tiefpunkt
Wir definieren zunächst die Funktion \(f\).
Beachte: Der Mal-Punkt muss bei der Definition mitgeschrieben werden.
Für Extrempunkte gilt die
\(\\[1em]\)
Notwendige Bedingung
\(\quad f'(x) = 0 \)
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Die Ableitung bilden wir mit dem Werkzeug
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und erhalten dann die 1. Ableitung:
\(\\\)
Zum Lösen der Gleichung verwenden wir den Solve-Befehl:
\(\\\)
Zum Überprüfen der Art des Extrempunktes benötigen wir die
\(\\[1em]\)
Hinreichende Bedingung
\(\quad f''(x) = 0 \)
Dazu bilden wir die 2. Ableitung mit
\(\\\)
und überprüfen die \(x\)-Werte.
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\(\quad \begin{array}{ l c l } f''(0) & < & 0 \quad \Rightarrow \quad \textrm{Hochpunkt} \\[5pt] f''(3) & > & 0 \quad \Rightarrow \quad \textrm{Tiefpunkt} \\[5pt] f''(6) & < & 0 \quad \Rightarrow \quad \textrm{Hochpunkt} \end{array} \)
\(\\[1em]\)
Funktionswert
Der Tiefpunkt hat die Koordinaten \(( 3 | 1{,}028 )\).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Graph von f
Um den Graphen zu zeichnen markieren wir den Funktionsterm von \(f\)
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und kopieren ihn mit
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Mit diesem Symbol
wechseln wir in den Graphik-Modus. Wir wählen
\(\\\)
und füge den Term mit
ein.
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Um den Graphen zu zeichnen, klicken wir das Feld vor \(Y1\) an.
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Es erscheint der Graph.
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Um einen besseren Bildausschnitt zu erhalten wählen wir dieses Symbol.
\(\\\)
Funktion \(f\) hat den Definitionsbereich \([0;6]\). Wir wählen als Zeichenbereich \(x \in [-0{,}5;6{,}5]\) und \(y \in [-1;4]\)
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und erhalten folgende Darstellung.
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Um den Graphen von \(f\) optimal zeichnen zu können erstellen wir eine Wertetabelle mit
\(\\\)
Wir brauchen die \(x\)-Werte von \(0\) bis \(6\).
\(\\\)
Mit dem Pfeil runter sehen wir auch den letzten Wert. wir übertragen Die Punkte in die Zeichnung und skizzieren den Graphen.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Breite von 3 Dezimetern
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\(\\\)
Nur \(x_2 =1{,}404685687\) und \(x_3 =4{,}595314313\) liegen innerhalb des Definitionsbereichs mit
\(\quad \mathbb{D} = \{ x \in \mathbb{R} \, \big| \, 0 \leq x \leq 6 \} \)
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Folglich beträgt der gesuchte
\(\quad Abstand \; = \; x_3 - x_2 \; = \; 4{,}595314313 - 1{,}404685687 \; \approx \; 3{,}19 \, dm \)
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