Regula falsi
Regula falsi ist ein Sekantenverfahren. Das heißt, dass hier eine Gerade durch 2 Punkte geht, wobei ein Punkt oberhalb und ein Punkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt. Zwischen den beiden Punkte wird die \(x\)-Achse von der Sekante geschnitten. Diese Eigenschaft wird genutzt, um ebenso wie beim Newton-Verfahren sich schrittweise der gesuchten Nullstelle zu nähern.
Vorgehensweise
- Wir wählen 2 Punkte, einen Punkt \(P_1\) oberhalb und einen Punkt \(P_2\) unterhalb der \(x\)-Achse und ziehen eine Sekante s dadurch.
- Wir erhalten die Nullstelle \(N_1\) der Sekante.
- Wir ermitteln den Punkt \(P_3\) des Graphen, der den gleichen \(x\)-Wert hat wie die Nullstelle \(N_1\).
- \(P_3\) liegt unterhalb der x-Achse. Da wir immer einen Punkt unterhalb und und oberhalb der \(x\)-Achse brauchen, ziehen wir eine Sekante (gestrichelt) durch den Punkt \(P_1\) und \(P_3\).
- Die Nullstelle der Sekante ist Punkt \(N_2\).
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So verfahren wir immer weiter und nähern uns der Nullstelle des Graphen, bis wir genügend nah sind.
Rechnerisch sieht das Ganze dann wie folgt aus. Wir nehmen als Beispiel die Funktion aus einer Aufgabe des Abiturs 2019:
\( \quad 0 = -\frac{1}{5}x^5 + \frac{14}{3}x^4 - \frac{112}{3}x^3 + 128x^2 + 8x -1333{,}455 \)
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Eine Funktion 5. Grades lässt sich mit dem normalen Schultaschenrechner nicht mehr berechnen und lösen die Nullstellenberechnung mit Regula falsi.
Die Anfangswerte bestimmen wir mit einer Wertetabelle mithilfe des Taschenrechners, hier mit dem Casio fx-991-DE X, aus dem Bereich von 0 bis 9.
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Von \(x=6\) nach \(=7\) wechselt \(f(x)\) das Vorzeichen, also wird dazwischen die \(x\)-Achse geschnitten. Damit liegt die gesuchte Nullstelle zwischen \(6\) und \(7\). Wir berechnen einen verbesserten \(x\)-Wert mit der Formel
\( \quad \boxed{ x_3 = x_1 - f(x_1) \cdot \tfrac{x_2 - x_1}{f(x_2) - f(x_1)} } \)
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Die Funktionswerte entnehmen wir der Wertetabelle auf 5 Nachkommastellen genau und tragen diese mitsamt der Berechnung
\( \quad \begin{array}{ r c l } x_3 & = & 6 - (-248{,}655) \cdot \frac{7 - 6}{32{,}47833- (-248{,}655)} \\[6pt] & = & 6{,}88447 \\ \end{array} \)
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in die folgende Tabelle ein.
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Wir berechnen den Funktionswert von \(x_3\):
\( \quad \begin{array}{ r c l } f(6{,}88447) & = & -\;\frac{1}{5} \cdot 6{,}88447^5 \\[6pt] & & +\;\frac{14}{3} \cdot 6{,}88447^4 \\[6pt] & & -\;\frac{112}{3} \cdot 6{,}88447^3 \\[6pt] & & +\;128 \cdot 6{,}88447^2 \\[6pt] & & +\;8 \cdot 6{,}88447 -1333{,}455 \\[6pt] & = & -\;3{,}35238 \\ \end{array} \)
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Da \(f(x_3)<0\) ist, liegt \(P_3\) unterhalbe der \(x\)-Achse. Wir ersetzen \(x_1\) durch \(x_3\).
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und berechnen den neuen \(x_3\)-Wert.
\( \quad \begin{array}{ r c l } x_3 & = & 6{,}88447 - (-3{,}35238) \cdot \frac{7 - 6{,}88447}{32{,}47833- (-3{,}35238)} \\[6pt] & = & 6{,}89528 \\ \end{array} \)
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Der Funktionswert ergibt
\( \quad \begin{array}{ r c l } f(6,89528) & = & -\;\frac{1}{5} \cdot 6{,}89528^5 \\[6pt] & & +\;\frac{14}{3} \cdot 6{,}89528^4 \\[6pt] & & -\;\frac{112}{3} \cdot 6{,}89528^3 \\[6pt] & & +\;128 \cdot 6{,}89528^2 \\[6pt] & & +\;8 \cdot 6{,}89528 \\[6pt] & & -\;1333{,}455 \\[6pt] & = & -\;0{,}034771 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Wir ersetzen noch einmal \(x_1\) durch \(x_3\) und berechnen den neuen \(x_3\)-Wert.
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Auf 3 Nachkommastellen genau hat sich der \(x_3\)-Wert nicht verändert. Zur Kontrolle noch einmal den Funktionswert berechnen.
\( \quad \begin{array}{ r c l } f(6,89539) & = & -\;\frac{1}{5} \cdot 6{,}89539^5 \\[6pt] & & +\;\frac{14}{3} \cdot 6{,}89539^4 \\[6pt] & & -\;\frac{112}{3} \cdot 6{,}89539^3 \\[6pt] & & +\;128 \cdot 6{,}89539^2 \\[6pt] & & +\;8 \cdot 6{,}89539 \\[6pt] & & -\;1333{,}455 \\[6pt] & = & -\;0{,}00097 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Wir erhalten \(f(6{,}89539)=-0{,}00097\)
Damit sind wir auf 2 Nachkommastellen genau bei Null. Wir nehmen als Nullstelle \(N(6,895|0)\).
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