Funktionenschar
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Achsenabschnitt b
\(p_a\) ist im Punkt \(A\) knickfrei und hat damit an der Stelle \(x=0\) die gleiche Steigung wie \(f\) und wir stellen fest:
\( \quad p_a'(0)=f'(0) \)
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Wir benötigen zunächst die Ableitung von \(f\)
\( \quad \begin{align} f'(x) & = 0{,}5 \cdot 1{,}6 e^{0{,}5x} \\[6pt] f'(x) & = 0{,}8 \cdot e^{0{,}5x} \\[6pt] f'(0) & = 0{,}8 \cdot e^{0{,}5 \cdot 0} \\[6pt] f'(0) & = 0{,}8 \cdot e^0 \\[6pt] f'(0) & = 0{,}8 \cdot 1 \\[6pt] f'(0) & = 0{,}8 \end{align} \\ \)
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und weiter die Ableitung von \(p_a\).
\( \quad \begin{align} p_a'(x) & = -2 ax + b \\[6pt] p_a'(0) & = -2 a \cdot 0 + b \\[6pt] p_a'(0) & = b \\[6pt] f'(0) & = b \\[6pt] 0{,}8 & = b \end{align} \)
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Aufgabe 2 – Parameter a
Punkt \((3|3{,}5)\) in \(p_a\) eingesetzt:
\( \quad \begin{align} p_a(x) & = - ax^2 + 0{,}8x + 2 \\[6pt] 3{,}5 & = - a \cdot 3^2 + 0{,}8 \cdot 3 + 2 \\[6pt] 3{,}5 & = - 9a + 4{,}4 && \bigl| \; +9a \\[6pt] 9a + 3{,}5 & = 4{,}4 && \bigl| \; -3{,}5 \\[6pt] 9a & = 0{,}9 && \bigl| \; :9 \\[6pt] a & = 0{,}1 \end{align} \)
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Aufgabe 3 – Auftreffwinkel
Der Winkel, unter dem die Kugel bei \(x=10\) auf den Boden auftrifft, lässt sich berechnen mit
\( \quad \begin{align} tan(\alpha) & = p_{0{,}1}'(x) \\[6pt] tan(\alpha) & = -2 ax + 0{,}8 \\[6pt] tan(\alpha) & = -0{,}2 \cdot 10 + 0{,}8 \\[6pt] tan(\alpha) & = -1{,}2 \\[6pt] \alpha & = tan^{-1}( -1{,}2 ) \\[6pt] \alpha & = -50{,}19^\circ \end{align} \)
Die Kugel trifft unter einem Winkel von 50,119° auf dem Boden auf.
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Aufgabe 4 – Hochpunkt
notwendige Bedingung: \(\mathbf{p_a'(x)=0}\)
\( \quad \begin{align} p_a'(x) & = -2 ax + 0{,}8 \\[6pt] 0 & = -2 ax + 0{,}8 && \bigl| \; +2ax \\[6pt] 2ax & = 0{,}8 && \bigl| \; :2a \\[6pt] x & = \frac{0{,}4}{a} \end{align} \)
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hinreichende Bedingung: \(\mathbf{p_a''(x) \not= 0}\)
\( \quad \begin{align} p_a''(x) & = -2 a , \; a>0 \\[7pt] p_a''( \frac{0{,}4}{a}) & = -2 a < 0 \quad \Rightarrow Hochpunkt \end{align} \)
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Funktionswert
\( \quad \begin{align} p_a\left(\tfrac{0{,}4}{a}\right) & = - a \cdot \left(\tfrac{0{,}4}{a} \right)^2 + 0{,}8 \cdot \tfrac{0{,}4}{a} + 2 \\[8pt] p_a\left(\tfrac{0{,}4}{a}\right) & = - a \cdot \tfrac{0{,}4^2}{a^2} + \tfrac{0{,}32}{a} + 2 \\[8pt] p_a\left(\tfrac{0{,}4}{a}\right) & = - \tfrac{0{,}16a}{a^2} + \tfrac{0{,}32}{a} + 2 \\[8pt] p_a\left(\tfrac{0{,}4}{a}\right) & = - \tfrac{0{,}16}{a} + \tfrac{0{,}32}{a} + 2 \\[8pt] p_a\left(\tfrac{0{,}4}{a}\right) & = 2 + \tfrac{0{,}16}{a} \end{align} \)
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\( \quad \quad \Rightarrow H\left(\frac{0{,}4}{a} \bigl| 2 + \frac{0{,}16}{a}\right) \\ \)
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Aufgabe 5 – Ortsgerade
\( \quad \begin{align} \textrm{I} & \quad x=\frac{0.4}{a} \\[6pt] \textrm{II} & \quad y=2 + \frac{0{,}16}{a} \end{align} \)
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1. × nach a auflösen:
\( \quad \begin{align} x & = \frac{0{,}4}{a} && \bigl| \cdot a \\[8pt] ax & = 0{,}4 && \bigl| :x \\[8pt] a & = \frac{0{,}4}{x} \end{align} \)
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2. a in y einsetzen:
\( \quad \begin{align} y & = 2 + \displaystyle{\frac{0{,}16}{\frac{0{,}4}{x}}} \qquad \textit{durch Bruch teilen:} \; \Rightarrow \textit{mit dem Kehrwert malnehmen} \\[8pt] y & = 2 + 0{,}16 \cdot \displaystyle{{\frac{x}{0{,}4}}} \\[8pt] y & = 0{,}4 x + 2 \qquad \Rightarrow \quad \textit{Geradengleichung vom Typ: } y=mx + b \end{align} \)
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