HMF 1 - Lösung

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Aufgabe 1 – Funktionswert und Steigung

Funktionswert

\( \quad \begin{array}{ r c l } f(2) & = & \frac{1}{3} \cdot 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - \frac{8}{3} \\[6pt] & = & \frac{8}{3} - 12 + 8 \cdot 2 - \frac{8}{3} \\[6pt] & = & 4 \\ \end{array} \)

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Steigung

Die Steigung wird mit der 1. Ableitung bestimmt.

\(\quad \begin{array}{ r c l } f(x) & = & \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 8x - \frac{8}{3} \\[12pt] f'(x) & = & x^2 - 6x + 8 \\[6pt] f'(2) & = & 2^2 - 6 \cdot 2 + 8 \\[6pt] f'(2) & = & 0 \\ \end{array} \)

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 – Wendestelle

notwendige Bedingung: \(f''(x) = 0\)

\(\quad \begin{array}{ r c l l } f''(x) & = & 2x - 6 \\[12pt] 0 & = & 2x - 6 & | +6 \\[6pt] 6 & = & 2x & | :2 \\[6pt] 3 & = & x \\ \end{array} \)

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Bei \(x=3\) könnte eine Wendestelle liegen. Wir überprüfen den \(x\)-Wert mit der hinreichenden Bedingung: \(f'''(x) \not= 0\)

\(\quad \begin{array}{ r c l c l } f'''(x) & = & 2 \\[6pt] f'''(3) & = & 2 & \not= & 0 \\ \end{array} \)

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Damit kommt bei \(x=3\) eine Wendestelle vor.

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