Maßzahlen der Gehwegplatte
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Funktionsterm von r
Der Graph von \(r\) ergibt sich indem \(l\) 6 Einheiten nach rechts verschoben wird. Das erreichen wir durch eine Verringerung des \(x\) um 6. Es ergibt sich
\(\quad \begin{array}{ r c l } r(x) & = & 2 \cdot \big( ( x - 6) + 1 \big) \cdot e^{-0{,}73 \cdot (x - 6)} \\[6pt] & = & 2 \cdot ( x - 5) \cdot e^{-0{,}73 \cdot (x - 6)} \\ \end{array} \)
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Um die Richtigkeit der Funktion zu zeigen, können wir den Graphen von \(r\) im Graphik-Modus zeichnen lassen. Hier bietet es sich nun an, die beiden Funktionen \(l\) und \(r\) als abschnittsweise Funktion \(g\) darzustellen mit
\(\quad g(x) \; = \; \left\{ \begin{array}{ r c r } l(x) & {,} & -1 \leq x \leq 0 \\[6pt] r(x) & {,} & 5 \leq x \leq 6 \\ \end{array} \right. \)
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In der Notation für den Classpad sieht das dann folgendermaßen aus:
\(\quad \begin{array}{ r c l l l } l(x) & = & 2 \cdot \big( x + 1 \big) \cdot e^{-0{,}73 \cdot x} & \, | \; x \geq -1 & | \; x \leq 0\\[10pt] r(x) & = & 2 \cdot \big( x - 5 \big) \cdot e^{-0{,}73 \cdot (x - 6)} & \, | \; x \geq 5 & | \; x \leq 6\\ \end{array} \)
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Wir benötigen den senkrechten Strich
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Diesen finden wir unter
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Wir gehen nun in den Graphik-Modus wie in der vorherigen Aufgabe beschrieben und schreiben die Funktionen.
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Mit
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lässt sich der Graph zeichnen.
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Wir verschieben den Bildausschnitt und können erkennen, dass die von uns aufgestellt Funktion \(r\) tatsächlich die um 6 Einheiten nach rechts verschobene Funktion \(l\) ist.
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Wer möchte, kann auch die ganze obere Hälfte der Gehwegplatte zeichnen, indem die Funktion \(f\) mit \(x \geq 0\) und \(x \leq 6\) begrenzt wird.
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Auch die ganze Gehwegplatte kann gezeichnet werden, indem zusätzlich die Funktionen \(f\), \(l\) und \(r\) um die \(x\)-Achse gespiegelt werden.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Flächeninhalt der Form
Der Flächeninhalt der Form
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entspricht dieser dargestellten Fläche,
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denn die doppelte Fläche unter der Funktion \(l\) im Intervall \([-1 ; 0]\) (rotbraune Fläche links) muss genauso groß sein wie die doppelte Fläche unter der Funktion \(r\) im Intervall \([5 ; 6]\) (rotbraune Fläche rechts). Denn \(r\) ist ja die um \(6 \, dm\) verschobene Funktion \(l\).
Die blaue und rotbraune Fläche zusammen genommen sind also genau die doppelte Fläche unter der Funktion \(f\) im Intervall \([0 ; 6]\).
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Demnach beschreibt der Term
\(\quad 2 \cdot \displaystyle{\int}_0^6 f(x) \, dx \)
exakt den Flächeninhalt der Form.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Masse der Form
Um die Masse der Form in Kilogramm zu bestimmen muss das Volumen mit \(1{,}76\) multipliziert werden. Das Volumen berechnet sich mit
\(\quad V \; = \; \textit{Grundfläche} \cdot \textit{Höhe} \)
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Die Masse berechnet sich nun wie folgt:
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Die Gehwegplatte wiegt ungefähr \(15{,}65 \, kg\).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 4 – Bogenlänge L
Die Graphen \(l\) , \(m\) , \(r\) und \(s\) haben jeweils die gleiche Länge.
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Ebenso sind die Graphen \(f\) und \(g\) gleich lang. Daraus ergibt sich der Umfang \(U\) der Form mit
\(\quad U \; = \; 4 \cdot \displaystyle{\int}_{-1}^0 \sqrt{1 + \big( l'(x) \big)^2} \, dx +2 \cdot \displaystyle{\int}_0^6 \sqrt{1 + \big( f'(x) \big)^2} \, dx \)
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Wir definieren Funktion \(l\) und deren Ableitung.
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\(e\) ist hier angegeben mit \(2{,}718281828\), also einen relativ ungenauen Wert. Entsprechend wird unser Ergebnis auch etwas ungenau werden. Zunächst berechnen wir die beiden Integrale.
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Wir setzen die Ergebnisse in die Umfangsformel ein.
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Der Umfang der Form beträgt also \(21{,}89322521 \, dm \approx 2{,}19 \, m\).
Zum Vergleich erhalten wir mit einem anderen Taschenrechner \(2{,}27 \, m\). Uns soll aber das berechnete Ergebnis genügen.
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