Funktionenschar


\(\\\)

Aufgabe 1 Kurvenuntersuchung

Achsenschnittpunkte

Wir definieren

\( \quad \begin{array}{ r c l } f_6(x) & = & (x -3) \cdot \left(x^2 - 6 \cdot x - \frac{6}{2}\right) \\[6pt] & = & (x -3) \cdot \left(x^2 - 6x - 3\right) \\ \end{array} \)

\(\\\)

als \(f(x)\) mit

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\(\\\)

Den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ermitteln wir mit

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\(\\\) Wir erhalten \(S_y(0|9)\).

\(\\\)

Für die Nullstellen gilt die Bedingung \(f(x)=0\) :

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\(\\\)

Wir erhalten mit

\( \quad -\left( 2 \cdot \sqrt{3}-3 \right) \approx -0{,}46 \)

und

\( \quad2 \cdot \sqrt{3}+3\approx 6{,}46 \)

\(\\\)

die Nullstellen:

\(\\\) \( \quad \begin{array}{ l } N_1(3|0) \\[6pt] N_2(-0{,}46|0) \\[6pt] N_3(6{,}46|0) \\ \end{array} \)

\(\\[2em]\)

Extrempunkte

notwendige Bedingung

Für Extrempunkte gilt, dass \(f'(x)=0\) ist.

Wir lösen die Gleichung mit

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\(\\[1em]\)

hinreichende Bedingung

Es gilt \(f''(x) \not= 0\). Wir überprüfen \(f''(1)\) und \(f''(5)\) :

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\(\\\)

Wir erhalten also

\( \quad \begin{array}{ r c l l } f2(1)<0 & \Rightarrow & \textit{Hochpunkt bei} & x=1 \\[6pt] f2(5)>0 & \Rightarrow & \textit{Tiefpunkt bei} & x=5 \\ \end{array} \)

\(\\[1em]\)

Funktionswert

Die \(y\)-Werte ermitteln wir mit

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\(\\\)

Die Extrempunkte liegen bei \(H(1|16)\) und \(T(5|-16)\).

\(\\[1em]\)

Skizze

Die Koordinatenschnittpunkte und Extrempunkte genügend eigentlich, um die Skizze anzufertigen. Wer möchte, kann sich dennoch den Graphen im Classpad anzeigen lassen und die Wertetabelle erstellen in folgender Art und Weise:

  1. In den Graphikbereich wechseln
    Wir kopieren den Funktionsterm mit Edit Copy und gehen in den Graphikbereich mit

    my image

    und

    my image

    \(\\\)

    Dort fügen wir mit Paste den Funktionsterm ein.

    my image

\(\\[1em]\)

  1. Zeichenbereich einstellen
    Wir gehen auf die Zeichenbereicheinstellung

    my image

    \(\\\)

    und wählen folgende Werte für xmin, xmax, ymin und ymax und bestätigen mit OK

    my image

    \(\\\)

    Mit

    my image

    my image

    \(\\\)

    können wir nun den Graphen zeichnen lassen.

    my image

    \(\\[1em]\)

  2. Wertetabelle
    Zum Übertragen ins Heft lassen wir uns eine Wertetabelle ausgeben und stellen diese ein mit

    my image

    \(\\\)

    und nehmen folgende Einstellungen vor und bestätigen mit OK.

    my image

    \(\\\)

    Mit

    my image

    \(\\\)

    lassen wir uns die Werte anzeigen.

    my image

\(\\\)

Nun noch die Punkte in die Skizze übertragen und den Graph zeichnen:

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\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 gemeinsame Punkte der Graphen

Wir wählen 2 Funktionen der Schar mit \(k=a\) und \(k=b\), mit \(a,b \in \mathbb{R}\) und \(a \not=b\). Die Schnittpunkte dieser Funktionen

\( \quad f_a(x) = (x - 3) \cdot \Big( x^2 - a \cdot x - \frac{a}{2} \Big) \)

\(\\\) und

\( \quad f_b(x) = (x - 3) \cdot \Big( x^2 - b \cdot x - \tfrac{b}{2} \Big) \)

\(\\\)

sind die Schnittpunkte aller Graphen der Schar, da \(f_a\) und \(f_b\), die verschieden voneinander sind, stellvertretend für beliebige Funktionen der Schar stehen.

Wir definieren \(f_a(x)\) mit \(u(x)\)

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\(\\\)

und \(f_b(x)\) mit \(v(x)\) .

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\(\\\)

Wir ermitteln die Schnittpunkte mit

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\(\\\)

Wir berechnen die \(y\)-Werte, indem wir die \(x\)-Werte in \(u(x)\) oder \(v(x)\) einsetzen:

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\(\\\)

Wir erhalten den Punkt \(P_1(3|0)\), der ja auch schon als Nullstelle von \(f_k(x)\) berechnet wurde, und den Punkt \(P_2(-0{,}5|0{,}875)\).

\(\\[2em]\)

Aufgabe 3 Extrempunkte der Schar

Wir definieren \(f_k(x)\) als \(g(x)\):

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\(\\[1em]\)

notwendige Bedingung

Es gilt: \(g'(x)=0\)

Wir lösen die Gleichung:

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\(\\\)

Damit die Extremstellen für alle \(k\) gelten, darf die Diskriminante, also der Ausdruck unter der Wurzel, nicht negativ sein. Wir überprüfen dies mit

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\(\\\)

Keine Lösung bedeutet, dass die Extremstellen sich für alle \(k \in \mathbb{R}\) berechnen lassen.

Wir überprüfen weiter, ob die Diskriminante Null sein kann.

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\(\\[1em]\)

hinreichende Bedingung

Es gilt \(f''(x) \not= 0\)

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\(\\\)

Da

\( \quad 2 \cdot\left(2 \cdot k^2 - 3 \cdot k + 18 \right) \)

\(\\\)

stets positiv ist, ist

\( \quad g''\left( \frac{2 \cdot k-\sqrt{2 \cdot\left(2 \cdot k^2 - 3 \cdot k + 18\right)} +6}{6} \right)<0 \qquad \textit{ein Hochpunkt} \)

\(\\\) und

\( \quad g''\left( \frac{2 \cdot k+\sqrt{2 \cdot\left(2 \cdot k^2 - 3 \cdot k + 18\right)}+6}{6} \right)>0 \qquad \textit{ein Tiefpunkt} \)

\(\\\)

Damit hat \(G_k\) also für jeden Wert von \(k \in \mathbb{R}\) genau zwei Extrempunkte.

\(\\[2em]\)

Aufgabe 4 Wendepunkt

notwendige Bedingung

Für den Wendepunkt gilt, dass \(g''(x)=0\) ist.

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\(\\[1em]\)

hinreichende Bedingung

Es gilt \(g'''(x) \not= 0\).

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\(\\[1em]\)

Funktionswert

Den \(y\)-Werte ermitteln wir mit

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\(\\\)

Der Wendepunkt liegt also bei \( W\bigg(\frac{k}{3}+3 \Bigl| \left(\frac{k}{3}-2\right) \cdot \left(\left(\frac{k}{3}+1\right)^2-k \cdot \left(\frac{k}{3}+1\right)-\frac{k}{2}\right) \bigg)\).

\(\\[1em]\)

Wendepunkt auf der y-Achse

Liegt der Wendepunkt \(W\left(x_w|y_w\right)\) auf der \(y\)-Achse, so gilt:

\( \quad x_w = \frac{k}{3}+1 = 0 \)

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\(\\[1em]\)

Wendepunkt auf der x-Achse

Liegt der Wendepunkt \(W\left( x_w|y_w \right)\) auf der \(x\) -Achse, so gilt:

\( \quad y_w = \left(\frac{k}{3}-2\right) \cdot \left(\left(\frac{k}{3}+1\right)^2-k \cdot \left(\frac{k}{3}+1\right)-\frac{k}{2}\right) = 0 \)

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\(\\\)

Für

\( \quad \begin{array}{ r c l } k_1 & = & -3 \\[6pt] k_2 & = & 6 \\[6pt] k_3 & = & \frac{-3 \cdot \sqrt{57}}{8} - \frac{15}{8}\approx -4{,}70619 \\[6pt] k_4 & = & \frac{3 \cdot \sqrt{57}}{8} - \frac{15}{8} \approx 0{,}956188 \\ \end{array} \)

\(\\\)

liegen die Wendepunkte auf den Koordinatenachsen.

\(\\[2em]\)

Aufgabe 5 kleinster Winkel

Alle Graphen von \(G_k\) verlaufen von links unten nach rechts oben, da \(f_k\) eine positive Funktionenschar dritten Grades ist. Das bedeutet, die Wendetangente stets fallend ist.

Damit der Winkel zwischen der Tangente und der \(x\)-Achse möglichst klein ist, muss der Betrag der Tangentensteigung möglichst klein sein.

\(\quad\) my image

\(\\[1em]\)

Minimum der Tangentensteigung

Die Tangentensteigung \(m\) wird berechnet mit der 1. Ableitung von \(g\) . Im Wendepunkt gilt

\( \quad m = m(k) = g'\left( \tfrac{k}{3}+1 \right) \)

\(\\\)

Wir definieren \(m(k)\):

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\(\\\)

Wir vereinfachen diesen Ausdruck mit expand oder simplify .

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\(\\\)

Wir definieren \(m(k)\) erneut mit dem Betrag dieses Ausdrucks. Dazu verwenden wir diese Funktion:

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\(\\[1em]\)

notwendige Bedingung

Für die betragsmäßig minimale Tangentensteigung muss gelten \(m'(k) = 0\) . Wir lösen die Gleichung.

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\(\\[1em]\)

hinreichende Bedingung

Damit ein Minimum vorliegt muss gelten, dass \(m''(k) > 0\). Wir überprüfen dies für \(k=\frac{3}{4}\) .

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\(\\[1em]\)

Winkelberechnung

Es gilt

\( \quad tan(\alpha) = m \)

\(\\\)

Wir berechnen die Steigung für \(k=\frac{3}{4}\) :

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\(\\\)

Wir erhalten damit

\( \quad \begin{array}{ r c l } tan(\alpha) & = & m\left( \frac{3}{4}\right) \\[8pt] tan(\alpha) & = & \frac{45}{16} \\[8pt] \alpha & = & tan^{-1}\left(\frac{45}{16}\right) \\[6pt] \alpha & = & 70{,}4269 \\ \end{array} \)

\(\\\)

Der kleinste Winkel zwischen der Wendetangente und der \(x\)-Achse beträgt \(70{,}4269^\circ\) .

\(\\[2em]\)

Aufgabe 6 Rotationskörper

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Die Flächen \(A_1\) und \(A_2\) rotieren um die \(x\)-Achse. Die Volumen der dabei entstehenden Rotationskörper berechnen wir mit der Formel

\( \quad \displaystyle{V = \pi \cdot\int_a^b \big(f(x)\big)^2 dx} \)

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\(\\\)

Beide Rotationskörper haben jeweils das Volumen von \(\frac{15471 \cdot \pi}{35} \approx 1388{,}67 \; VE\).

\(\\[2em]\)

Aufgabe 7 Aussage

Rotieren die beiden rechteckigen Flächen von gleicher Größe um die \(x\)-Achse,

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\(\\\) so entstehen dabei zwei Rotationskörper, mit verschieden großen Volumen.

\(\quad\) my image

\(\\\) Wie man leicht erkennen kann, liegt der Grund für die verschiedene Größe im Abstand der Fläche zur Rotationsachse, also der \(x\)-Achse. Genauer gesagt ist es der Abstand zur \(x\)-Achse des Schwerpunktes \(S\) der Flächen, der den gemittelten Radius darstellt. Die Aussage gilt also nur, falls dieser Abstand bei beiden Flächen gleich ist. Damit ist die Aussage nicht allgemeingültig und folglich falsch.

\(\\\)