Funktionenschar

Inhaltsverzeichnis

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Aufgabe 1 – Wert von k

Zunächst definieren wir \(f_k\) mit

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Wir lösen die Gleichung

\(\quad -\frac{3}{250} \cdot x^4 + \frac{18}{125} \cdot x^3 - \frac{54}{125} \cdot x^2 + 2 \; = \; -\frac{1}{100} k \cdot x^4 + \frac{3}{25} k \cdot x^3 - \frac{9}{25} k \cdot x^2 + 2 \)

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nach \(k\) auf.

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\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 – Wendestelle

Für die Wendestellen gilt \(f_k^{''}(x) = 0\) und \(f_k^{'''}(x) \not= 0\). Wir definieren die ersten drei Ableitungen.

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Wir erhalten die Ableitungen

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Wir haben also

\(\quad \begin{array}{ r c l } f_k^{'}(x) & = & -\frac{1}{25}k x^3 + \frac{9}{25}k x^2 - \frac{18}{25}k x \\[12pt] f_k^{''}(x) & = & -\frac{3}{25}k x^2 + \frac{18}{25}k x - \frac{18}{25}k \\[12pt] f_k^{'''}(x) & = & -\frac{6}{25}k x + \frac{18}{25}k x \\ \end{array} \)

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Wir berechnen die möglichen Wendestellen:

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Wir prüfen mit der dritten Ableitung, ob an den berechneten Stellen tatsächlich Wendestellen vorliegen.

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Da \(k \not= 0\) ist, ist sowohl

\(\quad \frac{6 \cdot k \cdot \sqrt{3}}{25} \not= 0 \)

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als auch

\(\quad \frac{-6 \cdot k \cdot \sqrt{3}}{25} \not= 0 \)

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Damit liegen bei

\(\quad x=-\left( \sqrt{3}-3 \right)= -\sqrt{3} + 3 \quad \text{und} \quad x=\sqrt{3}+3 \)

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Wendestellen vor.

\(\\[2em]\)

Aufgabe 3 – Lage der Wendepunkte

Wir bestimmen zunächst die \(y\)-Wert zu \(-\left( \sqrt{3}-3 \right)\) und \(\sqrt{3}+3\).

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Wie lautet nun das \(k\), wenn die Wendepunkte auf der \(x\)-Achse liegen?

\(\quad \begin{array}{ r c l l } 0 & = & 2 - \frac{9 \cdot k}{25} & \Bigl| \, + \frac{9 \cdot k}{25} \\[6pt] \frac{9 \cdot k}{25} & = & 2 & \Bigl| \, \cdot \frac{25}{9} \\[6pt] k & = & \frac{50}{9} \\ \end{array} \)

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Es ist nun leicht zu erkennen, dass

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Entsprechendes gilt für \(f_k \Big(-\left( \sqrt{3}-3 \right)\Big)\).

Damit kann nun über die Lage der Wendepunkte Folgendes gesagt werden:

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